直剪试验统计分析结果

在第6章中，对颗粒方向、接触方向、法向接触力、切向接触力的球形分布图采用椭球进行拟合，公式如下：

式中，a、b、c分别为椭球半轴长。使用这种拟合方法时，一个重要的假设是椭球轴的方向与系统坐标轴方向一致。对平面应变和三轴压缩试验，因为试样的颗粒方向、接触方向、法向接触力、切向接触力球形分布图拟合的椭球轴与坐标轴方向相一致，所以这一假设是成立的。但对直剪试验，这一假设不能成立，因为在试样受剪过程中主应力发生旋转，所以拟合椭球轴与坐标系轴方向不一致，应该用广义椭球（半轴方向任意）对直剪试样的球形分布图进行拟合。

设矩阵h的每一列为球形直方图上的一个数据点坐标x、y、z，那么通过矩阵hTh的特征向量可以确定拟合椭球轴方向，矩阵hTh的特征值可以确定拟合椭球轴的长度。这种方法与主要成分分析法（Principal Components Analysis，PCA）相似。得到椭球的轴长，便可以通过椭球的轴长比来表征试样的各向异性程度。本书中，椭球的轴长比取最长轴与最短轴的比值。

本章与第6章的另一个重要的不同点是法向接触力分布图和切向接触力分布图的算法。在第6章中，首先求每个特定立体角度内的平均接触力，分布图中各个方向的半径为相应平均接触力的大小。但在这里，对每个平均接触力用所有接触的总接触力进行规格化，用每个立体角方向上规格化后的平均接触力作为该方向上直方图的半径。这两种方法各有优点。第一种非规格化方法，可以很方便地得到不同阶段接触力的相对大小，比如，可以很清楚明了地对初始状态和最终状态下切向接触力的大小进行对比。第二种规格化方法在拟合数据时更为方便，椭球具有相同轴长比尺。

图7.13至图7.20为对密实试样和松散试样的颗粒方向、接触方向、法向接触力、切向接触力的采用规格化椭球进行拟合的球形分布图。这些参数的各向异性值随加载过程的变化如图7.21。与第6章的结论一样，初始状态下竖向颗粒方向较多，试样颗粒方向为各向异性分布。但是接触方向、法向接触力、切向接触力是各向同性分布的。虽然密实试样切向接触力分布图并不能近似为圆形，但是如第6章中提到的，密实试样初始状态时的切向接触力与最终状态的切向剪切力相比很小，可以近似认为密实试样初始状态下切向接触力的分布也是各向同性的。

图7.13　直剪条件下密实试样（DS-D75）颗粒方向极状分布图

图7.14　直剪条件下松散试样（DS-L75）颗粒方向极状分布图

图7.15　直剪条件下密实试样（DS-D75）接触方向极状分布图

图7.16　直剪条件下松散试样（DS-L75）接触方向极状分布图

图7.17　直剪条件下密实试样（DS-D75）法向接触力极状分布图

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图7.18　直剪条件下松散试样（DS-L75）法向接触力极状分布图

图7.19　直剪条件下密实试样（DS-D75）切向接触力极状分布图

图7.20　直剪条件下松散试样（DS-L75）切向接触力极状分布图

图7.21　熵值与轴应变关系

（a）颗粒方向；（b）接触方向；（c）法向接触力；（d）切向接触力

从图7.21可以发现，接触（接触方向、法向接触力、切向接触力）各向异性值随轴应变的变化趋势与直剪试验的应力—应变曲线相似。密实试样和中密试样的各向异性值先增加再减小，而松散试样的各向异性值一直增加。但是，试样颗粒方向分布的各向异性值在整个剪切过程中变化很小。试样越密实，接触各向异性值越大，围压越小，接触各向异性值越大。密实试样颗粒方向分布的各向异性值小于松散试样。

主应力旋转是直剪试验的一个重要现象。这一现象可以通过细观参数如接触特征的统计分析来进行研究。初始状态下，所有接触方向、法向接触力、切向接触力都趋向于各向同性分布，且拟合椭球的轴方向与系统坐标轴方向一致。但是当试样受剪后，球形直方分布图由球形向椭球形变化。拟合椭球的轴方向开始转动，与坐标轴方向不再一致，拟合椭球的轴方向即为接触参数的各向异性方向。拟合椭球的轴方向的旋转方向很好地反映了直剪试验中的主应力方向旋转的现象。本书中，取拟合椭球的长轴方向为各向异性方向，取各向异性方向与剪切方向的夹角为各向异性角，取法向接触力的旋转方向为主应力旋转方向（角度计算从剪切方向即x轴开始）。

从图7.15至图7.20可以发现，当试样受剪后，接触方向的各向异性角与法向接触力一致，与切向接触力的各向异性角相垂直。这也可以从表7.3看出，表中所示为最终状态下（10%应变）各项参数拟合椭球的长轴方向。从表中可以看出，接触方向的各向异性角与法向接触力的各向异性角都为负，切向接触力的各向异性角为正，法向接触力和切向接触力的各向异性角的夹角都为90。左右，说明法向接触力与相应的切向接触力相垂直。

直剪试验主应力方向旋转的概念由Hill（1950）首次从理论上提出。Masson和Martinez（2001）采用离散元法对直剪试验进行了一系列的模拟，试验结果发现，所有试样接触力的各向异性角都接近于45°，直剪荷载导致颗粒在接近45°的方向产生压缩，从而引起该方向的颗粒接触数目增加，接触力也变大。Zhang和Thornton（2007）发现临界状态下的主应力方向和主应变方向一致，都与水平轴成45°角。但是，上述结论都是基于二维数值模拟得到的，本书通过三维数值模型的细观参数球形分布图对这一现象进行了验证。图7.22所示为不同密实度的试样在不同竖向压力下，最终状态时法向接触力球形分布图的拟合椭球最长轴方向角度。从图7.22和表7.3可以看出，法向接触力方向角范围为39.8°至45.6°，也就是说接触力的各向异性角为45°左右，这与其他学者的研究结论相一致。

图7.22　轴应变为10%时法向接触力分布图拟合椭圆长轴方向角

表7.3　轴应变为10%时拟合椭球长轴方向角