三维颗粒流程序PFC3D（Particle Flow Code in Three Dimensions）是离散单元法的一个通用商业软件。PFC3D因为其性能卓越、易于使用而被广泛地应用于颗粒材料的研究。现通过Itasca公司开发的PFC3D程序来介绍离散单元法原理。
离散元模型由一系列互相独立的颗粒组成，这些颗粒只与相邻颗粒通过接触点或接触面相互作用。颗粒的受力及其引起的运动根据牛顿运动定律求得。离散元模型基于一些很重要的前提假设，包括：
1）颗粒被视为刚体，墙为刚性，且只与颗粒相互作用，墙和墙之间没有相互作用力。
2）颗粒接触为点接触。
3）颗粒接触时允许重叠，但是重叠量与颗粒单元尺寸相比很小（柔性接触）。
颗粒位移和颗粒间在接触点的接触力是根据跟踪集合体中每个颗粒的运动而求得，颗粒间的相互作用可以看作是一个动态的过程。这个动态的过程是通过时间步的算法来实现的。在时间步的确定与计算中，假定在每个时间步内速度和加速度保持不变。同时，在一个时间步内，颗粒的运动只对相邻颗粒产生影响，而对与它不相邻的颗粒没有任何影响。在计算颗粒运动的时候采用中心有限差分法。为保证求解过程的稳定，需要确保时间步长小于临界时间步长，临界时间步长跟整个模型的最小固有周期有关。临界时间步长可以通过简化的多质点一弹簧系统计算得到：
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式中，m为质量，ktran为平动刚度，I为转动惯量，krot为转动刚度。实际所采用的时间步为上式估算临界值的分数，这个分数在程序中可以由用户自己定义。
在计算过程的每一个时步内，对颗粒以及颗粒间的接触交替使用牛顿第二定律和力—位移方程求解。根据作用在颗粒上的力，通过牛顿第二定律可以求解颗粒运动。根据颗粒间位移，通过力—位移方程求解颗粒间的接触力。计算循环如图3.1所示：
图3.1 PFC3D计算循环示意图
（Itasca，2005）
滑动摩擦可以消耗颗粒系统的能量，但是很难在有限的循环内使系统达到稳定状态或者平衡状态。它可以通过阻尼模型实现较好的能量耗散，可以采用的阻尼模型包括局部非粘滞阻尼、滞后阻尼以及粘滞阻尼等。
由于系统本构特性是由接触本构模型所决定的，所以接触本构模型在离散元分析中至关重要。每个接触点的本构模型包括三个方面：刚度模型、滑动模型和粘结模型。刚度模型有线性接触模型和Hert-Mindlin模型，以此来计算法向和切向的接触力和相对位移的关系。滑动模型主要用来确定法向力和切向力的关系，通过允许滑动来控制接触点切向力。接触点的最大允许切向力为摩擦系数与接触点处法向力的乘积，当接触点的切向力大于最大允许切向力时，就会发生滑动。在粘结模型中，颗粒可以通过接触点的粘结连接在一起，粘结模型可以通过限制粘结力来限制接触处的最大法向力和切向力。粘结模型有两种，接触粘结模型和平行粘结模型，接触粘结模型只能传递力，而平行粘结模型可以传递力和力矩。还有一些其他的模型，比如简单弹塑性模型、简单延展模型以及位移软化模型等，这些模型可以用来模拟更加复杂的接触关系。
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