地质曲面拟合技术：水利水电工程地质三维建模与分析的实践

5.2.2.1　数学地质基本原理

数学地质是地质学中较新的分支学科,是地质学与数学、计算机科学相互渗透、紧密结合而逐步形成的一门地质学的边缘学科,它的产生是地质学沿着定量化方向发展的必然结果。数学地质的现代定义为:以数学为方法,以计算机为主要研究手段,定量研究地质学基础理论和定量探寻地质资源的一门方法性科学。随着科学的发展和生产建设的需要,数学地质的理论和方法也在不断地发展和完善,已从理论研究向实际应用的方向发展,其最终目的是实现地质学的定量化和智能化。

数学地质的基本工作流程如图5.6所示,可概括为以下几点:

(1)由地质学家或地质工程师提出地质问题,分析问题的地质因素,建立相应的地质概念模型。

(2)选用合适的数学方法,将定性的概念模型转化为定量的数学模型,并开发相应的应用软件工具。

(3)对计算机输出的定量结果和地质图形数据进行地质解译,并在此基础上确定或修改给出的地质概念模型和数学模型,以解决所提出的地质问题。

图5.6　数学地质基本工作流程

数学地质的主要研究内容包括:

(1)地质体的三维数学模拟和图形显示。这是当前数学地质的前沿课题之一,受到国内外数学地质工作者的普遍重视,也是本文研究的重点。由于计算机图形学、交互性图形系统的发展,以及它们在地质学中的进一步应用,在很大程度上促进了这方面研究的进展。

(2)地质多元统计分析。地质多元统计是数学地质的基础,任何一个地质问题都是非常复杂的,具有时间长、空间广和因素多的特征,使得地质人员借用统计分析方法从已知信息中获得一些规律性的认识,以便从量的角度研究和分析地质问题。目前常用的地质多元统计方法有回归分析、趋势面分析、聚类分析、判别分析、因子分析等,而采矿中则采用Kriging法进行统计分析。

(3)地质过程的数学模拟。应用数学模拟的方法研究地质历史的演化过程,是探索地质基础理论的重要途径之一。对地质过程的发生和演化历史用计算机进行再现,在一定程度上又可以为地质三维可视化提供支持。

(4)地质数据库。地质数据资料是非常复杂繁多的,利用计算机建立规范的地质数据库,可使地质人员从繁琐的地质资料整理工作中解脱出来,把精力集中到研究中去。而且还可以将数据库与相应的三维地质模型结合起来,方便、快捷、智能地为地质人员和设计人员使用。

5.2.2.2　地质曲面的插值与逼近(www.xing528.com)

地质勘探结果大多反映在一些离散不规则分布的数据点上,为了通过这些离散数据建立起区域性连续的整体模型,需要利用插值和逼近方面的曲面处理方法。曲面插值(Surface Interpolation)是严格通过给定的数据点来构造曲面,并根据原始数据点值来插补空白区的值,这类方法不改变原始数据点值。而曲面逼近(Surface Approximation)则是利用相对简单的数学曲面来近似构造复杂的地学曲面,根据一定的数学准则,使所给出的数学曲面最大限度地逼近地质曲面;通过拟合处理的曲面,原始数据点一般有所改变,所以曲面逼近的结果往往会取得平滑的效果。曲面的插值与逼近统称为曲面拟合(Surface Fitting)。

在地质曲面构造中运用较多的插值和逼近方法包括按近点距离加权平均法、按方位取点加权法、双线性插值法、移动曲面插值法、二元三点插值法、Kriging插值法和三次样条函数拟合法、趋势面拟合法、加权最小二乘拟合法等。插值方法能严格保证构造曲面通过原始数据点集合,适用于均匀分布的数据点,但外推能力和唯一性较差;地质工程师一般倾向于使用插值方法,这在二维环境下能够有效地操作,但在三维环境下解决基于分布不均匀原始数据的复杂地质曲面构造时会遇到较大的困难。而基于逼近思想的曲面拟合方法对原始数据点的分布没有任何要求,且外推能力和唯一性均较强,并能够保证曲面对原始数据点集合具有最佳逼近效果和很好的光顺性;但是直接采用逼近方法应用于地质曲面也存在两点困难:一是如何确定拟合曲面的控制网格顶点个数才能保证其满足精度要求;二是如何保证所构造的逼近曲面的形状能够满足实际需要。

原始的地质勘探数据往往分布范围较大且不均匀,若单独采用插值方法或者逼近拟合方法都会遇到较大的困难,因此笔者提出了插值与逼近相结合的方法,在构造地质曲面的过程中,充分考虑原始数据点的分布特点和曲面构造的精度要求,对于集中且均匀分布的原始数据,采用插值方法,使曲面严格通过这些数据点;对于分布离散不均匀的数据,若精度要求很高,则采用插值方法进行加密,一般情况下采用逼近拟合方法,使曲面在给定精度下充分逼近原始数据。在水利水电工程地质勘探中,一般在工程主要枢纽区域的地勘数据比较集中且分布均匀,其构造的地质曲面精度要求也很高,这部分必须采用插值方法;而在其相关的周边地区勘探分布较少且离散,对其精度要求也不高,采用逼近方法是可行的。

设某一地质曲面的原始数据集合为D={ps,s=0、1、2、…、m-1},其中分布均匀的子集为D1={pi,i=0、1、2、…、r},剩余分布不均匀的子集为D2={pj,j=0、1、2、…、m-1-r},其示例如图5.7(a)所示。基于NURBS技术的地质曲面插值—逼近拟合方法具体实现如下:

(1)对于子集D1,按照插值思想蒙皮法(Skinning)构造曲面,若曲面控制点为n,则该方法的数学模型为:

式中:X为曲面控制顶点构成的未知矢量,X∈Rn;B为曲面集合D1及边界条件构成的已知矢量,B∈Rn;A为系数矩阵,A∈Rn×Rn。

蒙皮法是使曲面在进行插值时顺序地通过一系列截面曲线,从而很好地生成复杂的自由曲面。在蒙皮过程中,首先要求各截面曲线的拓扑性质一致,即都是开曲线或都是闭曲线;其次在蒙皮插值过程中,插值的方式将影响最终的结果,根据工程地质实际需要,一般选择线性插值为宜。图5.7(b)为子集D1通过蒙皮插值得到的曲面S1。

图5.7　地质曲面的拟合示例

(a)原始数据集合;(b)插值拟合曲面S1;(c)逼近拟合曲面S2;(d)完整的地质拟合曲面S

(2)对于子集D2,直接利用NURBS技术,根据给定精度和控制点数据运用分段NURBS函数进行逼近拟合,获得按精度充分逼近子集D2的拟合曲面S2,如图5.7(c)所示。

(3)合并曲面S1和曲面S2,得到完整的地质拟合曲面S,如图5.7(d)所示。

针对地勘数据分布和地质曲面特征,笔者提出的上述插值—逼近拟合构造方法,充分考虑了地质精度要求、曲面连续性和数据存储量等方面的均衡,既能满足工程地质师的实际需要,也能达到NURBS曲面标准,获得了不错的效果。