中国古代数学经历了远古至西周数学的萌芽,春秋至汉以《九章算术》为代表的数学框架的确立,在宋元时期达到繁荣的顶点。在宋元期间,涌现了一大批卓有成就的数学家,其中秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰成就最为突出,被誉为“宋元数学四大家”。
(一)秦九韶和《数书九章》
秦九韶(1208—1261),字道古,自称鲁郡人,嘉定元年春诞生在普州。秦九韶聪敏勤学,据记载,“性极机巧,星象、音律、算术,以至营造等事,无不精究”,“游戏、毬、马、弓、剑,莫不能知”。公元1231年,秦九韶考中进士,他在政务之余,潜心钻研数学,并四处搜集历学、数学、星象、音律、营造等资料,对其进行分析研究。公元1244年,回湖州守孝期间,结合长期积累的数学知识和研究,将收集到的生产、生活中的数学问题分为九类并加以编辑,于1247年完成了《数学九章》并创造了“大衍求一术”。他所论的“正负开方术”被称为“秦九韶程序”。“大衍求一术”比西方数学家高斯建立的同余理论早554年;他的任意次方程的数值解比英国人霍纳(W.G.Horner,1786—1837)的解法早572年。
秦九韶的数学成就主要表现在《数书九章》之中。《数书九章》共18卷,本名《数术》,南宋时称《数学九章》或《数术大略》,明朝时又称为《数学九章》。该书采用“合类”“通类”“推类”等方法,共列算题81问,分为9类,每类9个问题,结合当时的实际需要提出的问题分成大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易九类。此书代表着当时中国数学的先进水平,也标志着中世纪世界数学的最高水平。
(二)李冶和《测圆海镜》
李冶(1192—1279),字仁卿,号敬斋,金真定栾城人(今河北栾城县),生于大兴(今北京市大兴区)。李冶自幼聪敏,对数学和文学很感兴趣,《测圆海镜》完稿于1248年。
《测圆海镜》共计12卷,涉及170多个问题,都是天元术求内切圆和旁切圆的直径问题。《测圆海镜》全书基本上是一个演绎体系,卷一列出了170个“圆城图式”问题。根据已知条件,分别计算了15个直角三角形各边之长;其中19题列出三次方程,13题列出四次方程,还有些题列出六次方程,并成功地用代数方法降低方程次数。
李冶以演绎法著书立说,这是一个进步。《测圆海镜》的成书标志着天元术成熟。元朝著名数学家朱世杰说:“以天元演之、明源活法,省功数倍。”清朝阮元说:“立天元者,自古算家之秘术;而海镜者,中土数学之宝书也。”(www.xing528.com)
(三)杨辉和《详解九章算法》
杨辉,字谦光,浙江钱塘(今杭州)人,南宋杰出的数学家。杨辉终生从事数学研究和教学工作,先后完成了5种21卷数学著作,它们是《详解九章算法》12卷、《日用算法》2卷、《乘除通变本末》3卷、《田亩比类乘除捷法》2卷、《续古摘奇算法》2卷,后三种又合称为《杨辉算法》。
《详解九章算法》在《九章算术》9卷的基础上,又增加了3卷,一卷是图;一卷是讲乘除算法的,居九章之前;一卷是纂类,居书末。从体例看,该书对《九章算术》的详解可分为:一、解题,即是对《九章》原题做详细解释,有的则辅以评论和校勘。主要内容为解释名词术语、题目含义、文字校勘、题目的评论。二、明法、草,先列算法,后列算草,有图附图,有表附表。三、比类。选取与题目算法相同或相近的问题作对比分析。四、续释注。对《九章算术》中的80问做深入注解注释。
(四)朱世杰和《四元玉鉴》
朱世杰(1300年前后),字汉卿,号松庭,寓居燕山,元代数学家,对多元高次方程组解法、高阶等差级数求和、高次内插法都有深入研究,他著有《算学启蒙》《四元玉鉴》各3卷,讨论了多达四元的高次联立方程组解法,联系在一起的多项式的表达和运算以及消去法,比西方早400年。
《四元玉鉴》成书于大德七年(1303),共三卷,24门,288问,介绍了朱世杰对多元高次方程组的解法——四元术。朱世杰不仅继承沿用了天元术,方程组解法由二元、三元推广至四元。未知数不止一个时,除设未知数天元(x)外,还设地元(y)、人元(z)及物元(u),再列出二元、三元甚至四元的高次联立方程组,然后求解。
一部中国数学发展史像一条源远流长的河流,而几千年来祖先们摘取的一块块世界金牌就是这河流中耀眼的浪花。
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