计算并联水泵事故停泵水锤的边界条件

（一）不同型号泵并联运行的边界条件

工程上经常将两台或多台水泵向同一管道供水，水泵的这种运行条件叫做水泵的并联运行。计算并联水泵的事故停泵水锤，可采用与单泵相同的方法确定其边界条件。由于每条并联管道都有一个水头平衡方程，每一台泵停止运行后又都有一个惯性方程，因此，并联水泵的台数及其中事故停泵的台数就确定了未知量的个数，同时也确定了边界方程的个数。

对于两种不同型号大小泵并联的情况，如图3-10所示，水泵端的边界条件方程由并联各泵的水头平衡方程、惯性方程、连续方程以及并联管道的特征方程组成。

图3-10　并联水泵布置示意图

1.水泵工作状态方程

式中α1、α2、α3、α4 分别为扬程和转矩直线方程中的常数项。带脚标P 的为计算时段末各参数值。

2.水头平衡方程

1 号、2号泵的水头平衡方程如下：

式中　　　H1、H2——分别表示并联的1 号、2号泵的工作扬程；

HP1——管路并联处水头；

HS——进水池水位在基准面以上高度；ΔHv1、ΔHv2——分别表示1 号、2号蝶阀水头损失。

式中　Cv1、Cv2——分别表示阀门的水头损失系数；

QR1、QR2——分别表示1 号、2号泵额定流量。

3.相连管道的负特征方程

4.水流连续方程

由于连续性原理，并用无量纲流速v 表示水泵的瞬态流量，可得

由于水泵的瞬态扬程H＝HRh，即等于无量纲扬程与水泵额定扬程的乘积，故采用全特性曲线表示时，水泵的瞬态工作扬程可分别由式（3-75）表示：

将式（3-72）、式（3-73）、式（3-74）、式（3-75）代入式（3-71），可以得到由水泵瞬态无量纲流量v 和无量纲转速α表示的各水泵水头平衡方程，为便于计算分别用F1、F2 表示为

式中　a11、a12——表示1 号泵扬程直线方程中常数；

a21、a22——表示2号泵扬程直线方程中常数；

αP1、vP1——分别为1 号泵转速和流量相对值；

αP2、vP2——分别为2号泵转速和流量相对值。

式（3-76）、式（3-77）是一组f（α，v）＝0非线性方程组，即相对转速和流量的方程组。

5.水泵机组的惯性方程

水泵机组转动部分在动力中断后，由于惯性的作用而继续旋转，其转矩M 与转速n的变化特性用惯性方程表示为

取微小的时间间隔积分，并引入无量纲转矩β（β＝M/MR，MR 为额定转矩M）和无量纲转速α，可以得到以下形式的有限差分方程：

将全特性方程曲线转矩关系表达式（3-69）、式（3-70）代入式（3-79），可分别写出1 号、2号泵的惯性方程式，为便于数值计算，分别用F3、F4 表示：

式中　a13、a14——为1 号泵转矩直线方程中常数项；

a23、a24——为2号泵转矩直线方程中常数项；带脚标P 的为时段末各参数值。(www.xing528.com)

式（3-81）、式（3-82）为用水无量纲流量v 和无量纲转速α表示的惯性方程。

6.并联边界条件方程求解

对于两种不同型号水泵并联的情况，当两台机组同时事故断电停泵，泵端边界条件方程由式（3-76）、式（3-77）、式（3-81）、式（3-82）4个方程组成，4个方程包含有4个未知量αP1、vP1、αP2、vP2，可以有唯一确定的解。由于方程组是一组非线性方程，可用牛顿—莱福笙迭代法求解。将上述4个方程写成以下迭代求解的矩阵形式：

其中：

式（3-83）中包含有4个未知迭代增量dαP1、dαP2、dvP1、dvP2，可计算确定并逐步迭代求得各泵的瞬态流量和瞬态转速，其求解步骤如下所示：

（1）设定初值dαP1、dαP2、dvP1、dvP2，除稳态开始的第一时段外，其余时间段可用前一时段的值加上该时段的增值作为下一段的初值。

（2）计算方程中的常数项。

（6）将设定瞬态参量与求得的各瞬态增量相加求其代数和，得到更逼近于方程解的各瞬态参量，转向（3）开始重新迭代计算，直到|dαP1|≤ε、|dαP2|≤ε、|dvP1|≤ε、|dvP2|≤ε（ε为允许的计算误差），这时所求的dαP1、dαP2、dvP1、dvP2即为满足一定要求的精确解。

（二）串联水泵的边界条件

水泵的串联工作有两种情况：一是如果串联水泵中，水泵与水泵之间的连接管道很长，则每台泵都是一个独立的边界条件，可采用与单泵相同的方法处理，在此不再赘述；二是如果两个水泵之间管道很短，计算中可以将两个水泵之间管道略而不计，如图3-11所示。这时可按下述方法建立其边界条件方程。

1.水泵扬程方程

图3-11　串联水泵布置示意图

式中　HP1、HP2——分别表示水泵进、出口的压力水头；

H1、H2——分别表示水泵1 和水泵2的扬程；

ΔHPv——表示通过水泵和阀门的水头损失。

2.连续方程

由连续性原理可知

3.正特征线方程

水泵入口的正特征线方程：

4.负特征线方程

水泵出口的负特征线方程：

5.阀门水头损失方程

式中　Cv——表示阀门的损失系数。

6.通过水泵特性曲线建立方程

从水泵特性曲线中，建立如下4个方程

7.转动力矩方程

以上共有13 个方程，求解13 个未知量。经过计算简化可得以下3 个方程：

式（3-95）、式（3-96）、式（3-97）3 个方程，包含3 个未知数αP2、vP2和αP1，方程独立、封闭，可以求解。求解时先将F1、F2、F33 个方程线性化；然后用高斯消去法求增量ΔαP2、ΔvP2和ΔαP1；多次迭代后，当增量小于某一允许误差值，再进行下一时间步长的计算，直至计算到需要时刻或恒定流为止。