弹性半空间理论与地基动力相互作用的试验与分析

研究结构-地基动力相互作用的经典方法有解析法或集中参数法，数值法或解析-数值结合法则包括有限差分法、有限元法、有限条法、边界元法、离散元法、嫁接法、有限元线法、无限边界元法、无穷元法，以及上述各类方法之间、它们与解析方法之间的各类耦合方法。理论方法按结构的分析系统可分为整体分析法和子结构分析法两大类，按是否考虑孔隙水压力的影响又可分为总应力法和有效应力法，以下分别加以阐述。

1.解析法

对于简单结构和均质地基，可以通过解析方法求得精确解。在解析法中，其主要代表是弹性半空间理论和弹性波绕射理论。Reissner[1]最早提出用弹性半空间理论分析地基与基础竖向激振情况下的理论解。这个理论被Sung[12]和Bycroft[2]分别发展用来处理不同类型的接触压力分布问题和不同类型的振动。Richart和Whitman[13]用这一理论的分析结果与大量的场地试验相比较，结果表明，二者之间符合较好。弹性半空间理论对于在土质均匀、土层较厚的地基上建造的浅埋基础的建筑结构物的动力相互作用分析，无疑是简单有效且便于工程技术人员掌握使用的，但它也存在一定的缺点和局限性。Seed等人[14]认为，这种方法没有分析地基土的材料阻尼及辐射阻尼的影响；不适用于沉积层复杂的地基情况；不能考虑场地土动力特性随应变值的变化，计算出的地震反应值误差较大；不适用于基础埋深较大的结构物及不能考虑邻近结构物的影响等。对此，Hadjian[15]和Hall等人[16]提出不同的看法，他们列举一些资料表明，在大多数情况下用弹性半空间的集总参数法是足够精确的，地基土和结构的动力参数的变化照例可用集总参数法考虑。但是，应当承认，用弹性半空间理论定量地计算土-结构相互作用的问题仍然没有解决，由该理论得到的计算成果也并没有完全为现场实验所证实，现有的一些成果离解决实际问题仍有一定的距离。

弹性波绕射理论的优点是可以避开结构动力方程，直接由波动方程求解，但由于它在处理复杂边界条件时数学计算极其繁琐和困难，至今所见资料不多。

2.数值分析法

当上部结构、基础以及地形地质条件较复杂时，用解析法表示实际体系会产生大量数学上的困难，因而必须采用数值方法。

在数值方法中，有限元法是应用最广且最有效的方法。它可以较真实地模拟地基与结构的力学性能，处理各种复杂的几何形状和荷载，能够考虑结构周围土体变形及加速度沿土剖面的变化，适当地考虑土的非线性特点，可以计算邻近结构的影响。其次，由于有限元法通用性强，且已有大量可供使用的商业程序，用户易于掌握，因而可以用于许多复杂的土与结构相互作用问题的计算。在动力相互作用问题分析中，目前较为成熟的方法仍然是完全有限元法，即对结构-基础-地基体系采用整体有限元分析。但完全有限元法在土和结构动力相互作用分析方面也存在比较明显的缺陷，突出的是为了反映地基的半无限域特征，不得不在相当大的范围内对地基进行离散化，因而占用计算机内存大，消耗机时多。为了减小求解区域，人们提出了各种人工边界，如Lysmer[17]提出的黏性边界，White[18]提出的统一边界，Smith[19]、Cundall[20]提出的叠加边界，Lysmer和Wass[21]提出的协调边界，Engquist[22]与Clayton[23]提出的旁轴边界，廖振鹏[24-29]提出的暂态透射边界。在土与结构的动力相互作用方面，完全有限元法仍然存在计算过程复杂、计算费用较高的问题。因此，进一步研究有限元的求解方法，优化有限元程序结构，提高程序前后处理功能，仍是当前土-结构相互作用有限元分析中值得进一步研究的课题。

边界元法从本质上看是属于一种半解析的数值方法，它依赖于各种问题的基本解或Green函数，这种基本解在复杂的介质条件下往往不存在，这一点有时会成为比较突出的问题。Dominguez[30-31]首先将频域边界元法用于求解二维和三维表面式及嵌入式基础的动力刚度与波动响应。Karabalis和Beskos[32]、Spyrakos和Beskos[33]则分别用时域边界元法研究了上述问题，并考虑了基础板的柔度。边界元法用于成层介质的波动问题时，一种方法是直接采用均匀无限区域的基本解，采用分区解法，此时不仅需要离散区域的边界，而且需要对分层交界面进行离散，当层数较多时，工作量较大，只适合于分层数不多的情况，其优点是可以处理任意取向的分层界面，原则上适用于任意复杂分层介质中的波动问题。用边界元法处理成层介质波动问题的另一种方法是引入分层介质的基本解，采用分层介质模型，此时，边界元法在概念与方法上不会有任何困难，而关键的问题是寻找相应的动力基本解，但这种分层介质模型的基本解只对简单的水平成层半平面存在，它们一般具有较复杂的形式。自1904年Lamb[34]对基本解问题研究以来，二维、三维刚性和弹性基岩上水平成层介质的频域基本解已分别由Franssens[35]、Luco等[36-37]、Bouchon[38]、Kausel等[39]、Wolf等[40-41]以及Tassoulas等[42]导出。在时域内，相应的基本解更不多见，曾三平等[43]导出了任意层数层状弹性半空间轴对称动力问题时域基本解的解析表达式。这种水平成层介质模型的优点是可以将成层半空间介质作为一个整体来考虑，不需要对各层的交界面进行离散，但其基本解的形式较复杂，应用比较困难。以上的层状介质情况，实际上属于离散非均匀域，即局部域是均匀的，而整体是非均匀的。对于具有连续非均匀的介质，边界元法更多地依赖于基本解是否存在，这种基本解一般只对特殊的介质存在，对连续非均匀介质问题，边界元法一般只能用于研究特殊类型的非均匀介质。

无限元法以形函数形式描述从近域到远域位移幅值的衰减规律，以及不同波数的相位特征，本质上来说，也是一种人工边界。动力无限元由Bettess与Zienkiewicz[44]在静力无限元基础上发展起来，首先应用于流体波动分析，Chow与Smith[45]将它应用于固体波的传播分析，Medina等人[46]以及Zhang与Zhao[47]将这一方法用于结构-地基相互作用分析中。

离散元法是由Cundall[48]在20世纪70年代初提出的一种分析不连续岩体变形的方法，其假定岩体由互相切割的刚性块组成，单元间以虚拟弹簧接触传递相互作用力。从动力学牛顿第二定律出发，用显式动力松弛法进行叠代计算，可用于分析岩体的大变形与地下结构围岩的失稳过程，我国的王泳嘉[49]、魏群[50]、张楚汉和鲁军等人[51-52]分别对离散元法进行了有意义的开发和应用。离散元是一种岩土地基模型，用于动力分析中需要将离散元与边界元相耦合，以便反映无限地基的辐射阻尼，这一耦合已由Lemos[53]、Dowding[54]等人完成，但目前还未广泛应用于结构-地基动力相互作用分析中。

有限差分法和有限元同属有限体模型，为模拟地基的辐射阻尼需要在人工截断边界上施加透射边界或取足够大的地基离散范围。有限差分法曾用于地震地面运动分析，Alterman[55]、Boore[56]、Aki[57]、Joyner[58]等人的工作是典型的代表，这一方法在地基动力分析中已有被有限元和边界元取代的趋势。

有限元-嫁接法是20世纪80年代由Dasgupta[59]提出的，其原理是在有限域模型中计入无限域的辐射条件，从而使无限域的动力刚度可以用有限单体的动力刚度构成的微分方程来表示。这一方法适用于计算嵌入式基础的频域动力刚度。Wolf和宋崇民[60]将Dasgupta的一个单体推广到多个单体的模型，极大地改善了嫁接法的精度。目前，这种方法正处于研究过程中，有可能广泛应用于结构-地基的动力相互作用分析中。

有限条法是由Cheung[61]提出的一种半解析方法，基本思想是在结构或介质的一个方向上用离散单元数值方法，另一个或两个方向上用解析法，在结构-地基相互作用方面已有一定应用[62]。此法对于规则成层地基的动力分析有一定优点，但仍需截取很长的地基范围，迄今仍未广泛应用于结构-无限地基的耦合分析中。(www.xing528.com)

3.耦合法

耦合法是为了取各种方法之所长，用两种不同方法结合起来求解所提出的问题。耦合法可以是解析法与数值方法的结合，也可以是在部分域(例如近场)使用一种数值法(例如有限元)，而对于其他域(例如远场)，使用其他方法(例如边界元、半无限元、边界阻抗和半解析等)来模拟。在土-结构动力相互作用问题中，研究得最多的是上面的后一种方法。主要是沿基础相邻土体中的某一规则的曲(折)线或曲面(如半圆、半球、矩形或棱柱等)，在该曲线(面)内(近场)由于为非均匀体，一般都采用有限元来处理。严格地求解这类问题，只对于扭转荷载条件才可得到解析解。远场用无限元模拟也是土-结构动力相互作用问题中研究得较多的一种方法。

远场用边界元与近场用有限元相结合来求解土-结构相互作用是近二十年来耦合法中用得最多的一种。最早实现频域内有限元与边界元耦合的是Toki[63]等。随后，Underwood等[64]、Mita等[65]、Kobayashi等[66]均采用二维频域方法进行耦合。Gaitanareos[67]将耦合方法应用到三维问题中。Karabalis等[32]将这一耦合技术发展到时域方法中。Wolf[40-41，68]提出了将频域地基动力刚度转换为时域动力刚度的方法，实现了频域和时域两大类方法的耦合。

4.子结构法

动力子结构法也是土与结构动力相互作用分析中广泛应用的一类方法。首先把整个结构划分为几个子结构，分别对每个子结构进行分析，最后再利用各子结构交界面处的变形连续条件把各子结构综合起来进行整体分析。最早将这一方法引入土-结构相互作用分析中的是Chopra等[69]，他们利用弹性半空间动力刚度的形式，与有限元上部结构以及水坝的上游水域耦合起来发展了一整套子结构模态分析技术。此后，出现了几种针对土-结构相互作用特点的动力子结构分析方法，如刚性边界元法、柔性边界元法和柔性体积法[11]等。

按照模型的简繁程度，子结构法可以分为简单子结构法和一般子结构法。两种方法的基本概念及计算步骤一致，只是由于基本假定不同，故其计算工作量和范围不同。简单子结构法是将上部结构离散为由弹性杆串联的多个质点的悬臂子结构，将土体看作弹性半空间，基础则理想化为弹性表面上的无质量刚体。这种方法的计算工作量小，可用于分析建造在土质均匀、土层较厚的地基上且基础埋置深度不大的土-结构体系，但对于复杂的结构，不均质的地基以及有基础的结构，一般难以获得可靠的结果。一般子结构法将上部结构用有限元离散，地基根据场地土层条件，既可以作为连续的弹性或黏弹性半空间，也可以用有限元、边界元或其他数值方法离散。当用数值方法离散时可以考虑基础的柔性。一般子结构法能够用于分析埋入式结构，能考虑相邻结构通过土传来的相互作用影响及复杂地基情况，并能进行多点地震荷载输入。由于子结构法是将规定的自由场运动直接在结构-土交界面上输入，从而避免了反演计算和完全有限元中关于地震波类型和方向的有关假定，使问题处理起来更加方便一些。尽管一般子结构法也是将上部结构、基础和地基用有限元离散，但在计算上子结构法比完全有限元法简洁得多。

子结构法既可以在频域中应用，也可以在时域中应用，当在频域中应用时，只限于线性地基。如果要考虑土的非线性性质和结构的非线性时，就必须应用整体分析中的时域逐步积分方法。如时域有限元、时域边界元或它们之间的耦合法。关于这方面的研究仍处于初步阶段，其成果相对较少[70-71]。

5.有效应力法

结构-地基相互作用体系的动力反应分析方法按是否考虑孔隙水压力的影响，可分为总应力动力分析法和有效应力动力分析法。在总应力动力分析法中，岩土介质的应力应变关系和强度参数都是根据总应力确定的，其动剪切模量G和阻尼比D只取决于震前的静力有效应力，不考虑动力荷载作用过程中孔隙水压力变化对土的性质的影响。有效应力动力分析法与一般总应力动力分析法的不同之处在于该法在分析中考虑了振动孔隙水压力变化过程对土体动力特性的影响。

早期的有效应力动力分析法是在总应力法的基础上发展起来的。它以总应力法为基础，本构模型仍采用等价黏弹性体，但是在每一时段末增加了残余孔隙水压力或残余变形的计算。Finn等人[72]最先提出用有效应力原理计算动荷载作用时水平地面下饱和砂层中孔隙水压力的一维有效应力分析方法。后来徐志英和沈珠江[73]又提出地震液化的二维有效应力动力分析法，这种方法是在有限单元法的基础上，分时段将以Boit固结理论为基础的静力计算和以等效线性理论为基础的动力计算结合起来进行分析，其中考虑了振动引起的孔隙水压力的增长、扩散和消散作用。徐志英和周健[74]又将上述方法发展为三维有效应力动力分析。Lee、Finn针对土的非线性滞回特性并利用Masing准则来模拟卸载和再加载过程，且考虑动荷作用时瞬时和残余孔隙水压力的影响，提出增量弹性动力分析模型。同时，Mroz、Dafalias、Paster等学者从本构模型入手，又由弹塑性分析的途径进一步发展了有效应力法，它是采用复杂弹塑性计算模型的有效应力动力分析方法。这种方法在理论上更合理，在实际上也更好地反映了土的真实性能。但计算工作量也更大，目前尚未在实践中得到广泛应用。

与总应力法相比，有效应力动力分析法不但提高了计算精度，更加合理地考虑了动力作用过程中土动力性质的变化，而且还可以预测动力作用过程中孔隙水压力的变化过程、土体液化及震陷的可能性和土层软化对地基自振周期及地面振动反应的影响等。但是由于目前对动力荷载作用时孔隙水压力的产生、扩散和消散机理及其预测方法还尚未达到可以完全信赖的程度，有效应力分析中所需计算参数的确定还不是十分合理，其计算工作量又相当大。因此，将有效应力法更加广泛地应用于实践工作中，还需对其作进一步的探索和完善。