天文学教程：圆限制三体问题及洛希瓣与拉格朗日点

在三体问题中，如果其中一个天体的质量很小，以致可以忽略它对另两个天体的引力作用，这类所谓限制性三体问题可以有很好的近似解。例如，太阳系的一颗小行星（或彗星）在太阳和另一颗行星作用下的运动、飞船在地球和月球引力作用下的运动，都可以作为近似的限制性三体问题。若两个质量大的天体在圆形轨道上绕它们质量中心转动，则称为圆形限制性三体问题。

圆形限制性三体问题求解的简便方法是选取与两个大质量天体同步旋转的共转坐标系（x，y，z）：取它们的质量中心为原点，x轴和y轴在轨道平面上，它们保持相对静止于（x1，0，0）和（x2，0，0）。在它们的引力场中，一个小质量天体的运动方程积分，得到其速度为

式中，C是积分常数。因为v2≥0，所以2U-C≥0，C可以由初始位置和速度确定。利用式（3-22），可以讨论小天体的运动区域。对于极限v=0情况，就得出零速度面方程：

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图3-15　洛希瓣与拉格朗日点

且C总是大于0的。不同的C值对应于一组零速度面，即（引力）等势面，限制小天体的运动区域。最简明情况是在xy平面显示的代表性等势线（见图3-15）：等势线划分出大天体邻近区域内和远离大天体的区域外为小天体的可运行区，而它们中间的区域是小天体运行受限制区域。随着C值从大到小，可运行区扩大；当C到临界值时，两个大天体邻近的可运行区界面——临界等势面接触于内拉格朗日点L1，该界面（图3-15中横写8字形）又称为洛希面，它所包围的两个区域称为“洛希瓣（Roche lobe）”；C值小的等势面连通成哑铃形的小天体可运行区，小天体可以从一个大天体附近流到另一个大天体附近；C值再小时，大天体的等势面与远处的等势面相交于拉格朗日点L2和L3；L1、L2和L3都在两个大天体的连线上，它们是圆限制性三体问题的特殊解；还有另两个特殊解是拉格朗日点L4和L5，它们处于与两个大天体成等边三角形顶点位置，对应于更小的C值。研究表明，在L1、L2和L3处的小天体虽然可以处于静态，但不稳定，受扰动就离开。L4和L5是稳定的。那里的小天体受扰动偏离后仍会返回。近似的理论计算得出，若m2＜m1，μ=m2／（m1＋m2），a是它们的距离，则m2的洛希瓣近于球，其半径近似为

对于两个大天体在椭圆轨道运动的椭圆形限制三体问题，小天体运动也有5个拉格朗日点。洛希瓣的概念广泛用于双（恒）星系统的讨论（见本书下册第11章）。