应力扩散角法计算土中附加应力，注册结构工程师专题精讲

以上介绍的地基附加应力计算都是把地基土看成是均质的、各向同性的线性变形体，而实际情况往往并非如此，如有的地基土是由不同压缩性土层组成的成层地基，有的地基同一土层中土的变形模量随深度增加而增大。双层地基是工程中常见的一种情况。双层地基指的是在附加应力影响深度范围内地基由两层变形显著不同的土层所组成。如果上层软弱，下层坚硬，则产生应力集中现象；反之，若上硬下软，则产生应力扩散现象（图3.5.1，虚线表示均质地基中水平面上的附加应力分布）。

图3.5.1 非均质和各向异性对地基附加应力的影响

a）产生应力集中 b）产生应力扩散

由于软弱下卧层与持力层土的物理力学性质有很大差别，不能直接应用本节前一段所述的理论，因而使计算十分复杂。为了简化计算，《建筑地基基础设计规范》提出了应力扩散角的概念，表面荷载通过土体按某一角度θ向深部扩散，在距地表越深的平面上，应力分布范围越大。假定随着深度z的增加，荷载p₀在按规律ztanθ扩大的水平面面积上均匀分布，则θ就称为应力扩散角（图3.5.2），用压力角扩散法求条形基础和矩形基础中附加竖应力p_z的具体计算方法见《建筑地基基础设计规范》5.2.7条。

《建筑地基基础设计规范》规定：

图3.5.2 扩散角的概念

5.2.7 当地基受力层范围内有软弱下卧层时，应符合下列规定：

1 应按下式验算软弱下卧层的地基承载力：

p_z+p_cz≤f_az （5.2.7⁃1）

式中 p_z——相应于作用的标准组合时，软弱下卧层顶面处的附加压力值（kPa）；

p_cz——软弱下卧层顶面处土的自重压力值（kPa）；

f_az——软弱下卧层顶面处经深度修正后的地基承载力特征值（kPa）。

2 对条形基础和矩形基础，式（5.2.7⁃1）中的p_z值可按下列公式简化计算：条形基础

矩形基础

式中 b——矩形基础或条形基础底边的宽度（m）；

l——矩形基础底边的长度（m）；

p_c——基础底面处土的自重压力值（kPa）；

z——基础底面至软弱下卧层顶面的距离（m）；

θ——地基压力扩散线与垂直线的夹角（°），可按表5.2.7采用。

表5.2.7 地基压力扩散角θ

注：1.E_s1为上层土压缩模量；E_s2为下层土压缩模量。

2.z/b<0.25时取θ=0°，必要时，宜由试验确定；z/b>0.50时θ值不变。

3.z/b在0.25与0.50之间可插值使用。

【3.5.1】 （2011年二级考题）

某新建房屋为四层砌体结构，设一层地下室，采用墙下条形基础。设计室外地面绝对标高与场地自然地面绝对标高相同，均为8.000m，基础B的宽度b为2.4m。基础剖面及地质情况如图3.5.3所示。

按《建筑地基基础设计规范》的规定，计算基础B地基受力层范围内的软弱下卧层顶面处的附加压力时，地基压力扩散角θ值与下列何项数值最为接近？

（A）6° （B）10° （C）18° （D）23°

【答案】 （D）

【详解】 作题提示：角点法主要用于基础底面以下某点的附加应力计算，而应力扩散角法主要用于软弱下卧层顶面处的附加应力计算，地基压力扩散线与垂直线的夹角，是应力扩散角法的重要参数。

根据《建筑地基基础设计规范》5.2.7条的规定，已知上层土压缩模量E_s1=4.5MPa，下层土压缩模量E_s2=1.5MPa，则有

基础底面至软弱下卧层顶面的距离z=（5-2.6）m=2.4m，则z/b=1>0.5

查规范表5.2.7，得θ=23°

故（D）正确。

图 3.5.3

【简解】

z=（5-2.6）m=2.4m，z/b=1>0.5

查《地规》表5.2.7得θ=23°。

【3.5.2】～【3.5.3】 （2008年二级考题）

某高层住宅，采用筏板基础，筏板尺寸为12m×50m；其地基基础设计等级为乙级。基础底面处相应于荷载效应标准组合时的平均压应力为325kPa，地基土层分布如图3.5.4所示。

图 3.5.4

【3.5.2】 （2008年二级考题）

按《建筑地基基础设计规范》的规定，计算地基持力层范围内的软弱下卧层顶面处的附加压力时，试问，所需的地基压力扩散角θ值与下列何项数值最为接近？

（A）6° （B）10° （C）20° （D）23°

【答案】 （B）

【详解】 根据《建筑地基基础设计规范》5.2.7条的规定，有

由以上两个比值，查规范表5.2.7得θ=10°故（B）正确。

【简解】 ，查得θ=10°

【3.5.3】 （2008年二级考题）

假定试验测得的地基压力扩散角θ=8°，试问，软弱下卧层顶面处，相应于荷载效应标准组合时的附加压力值（kPa），与下列何项数值最为接近？

（A）250 （B）280 （C）310 （D）540

【答案】 （A）

【详解】 作题提示：应力扩散角法，相当于是把基底的附加压力（p_k-p_c），按照地基压力扩散角θ扩散到软弱下卧层的顶面。在计算过程中，熟练掌握附加应力计算公式中每个字母所代表的含义，避免算错。

根据《建筑地基基础设计规范》5.2.7条的规定，基础底面处的自重压力值为

p_c=18×3=54kPa

由《建筑地基基础设计规范》式（5.2.7⁃3），软弱下卧层顶面处的附加压力为

故（A）正确。

【简解】

【3.5.4】 （2008年岩土考题）

如图3.5.5所示，条形基础宽度2.0m，埋深2.5m，基底总压力200kPa，按照现行《建筑地基基础设计规范》，基底下淤泥质黏土层顶面的附加压力值最接近下列哪个选项的数值？

（A）89kPa （B）108kPa

（C）81kPa （D）200kPa

【答案】 （A）

【解答】 根据《建筑地基基础设计规范》5.2.7条的规定，有

图 3.5.5

由以上两个比值，查《建筑地基基础设计规范》表5.2.7得θ=23°

根据《建筑地基基础设计规范》式（5.2.7⁃3），软弱下卧层顶面处的附加压力为

【3.5.5】 （2010年岩土考题）

某条形基础，上部结构传至基础顶面的竖向荷载F_k=320kN/m，基础宽度b=4m，基础埋置深度d=2m，基础底面以上土层的天然重度γ=18kN/m³，基础及其上土的平均重度为20kN/m³，基础底面至软弱下卧层顶面z=2m，已知扩散角θ=25°。试问，扩散到软弱下卧层顶面处的附加压力最接近下列何项数值？

（A）35kPa （B）45kPa （C）57kPa （D）66kPa

【答案】 （C）

【解答】 基底压力

基础底面处土的自重压力p_c=γd=18×2=36kPa

根据《建筑地基基础设计规范》式（5.2.7⁃3），有

【3.5.6】 （2009年一级考题）

某柱下扩展锥形基础，柱截面尺寸为0.4m×0.5m，基础尺寸、埋深及地基条件如图3.5.6所示。基础及其上土的加权平均重度为20kN/m³。

图 3.5.6

假定黏性土层的下卧层为淤泥质土，其压缩模量E_s=3MPa。假定基础只受轴心荷载作用，且b₁为1.4m；相应于荷载效应标准组合时，柱底的竖向力F_k=1120kN。试问，荷载效应标准组合时，软弱下卧层顶面处的附加压力值p_z（kPa），最接近于下列何项数值？

（A）28 （B）34 （C）40 （D）46

【答案】 （B）

【详解】 根据《建筑地基基础设计规范》5.2.2条，基础底面的压力值为(www.xing528.com)

基础底面以上的土的自重压力为p_c=17.5×1+19×0.5=27kPa

由；，查《建筑地基基础设计规范》表5.2.7得θ=23°

根据《建筑地基基础设计规范》式（5.2.7⁃3），软弱下卧层顶面处的附加压力为

故（B）正确。

【简解】 由，查得θ=23°，则

【3.5.7】～【3.5.8】 （2003年一级考题）

有一底面宽度为b的钢筋混凝土条形基础，其埋置深度为1.2m。取条形基础长度1m计算，其上部结构传至基础顶面处的标准组合值：竖向力F_k，弯矩M_k。已知计算G_k（基础自重和基础上土重）用的加权平均重度为20kN/m³。基础及工程地质剖面如图3.5.7所示。

图 3.5.7

【3.5.7】 （2003年一级考题）

当F_k=300kN/m，M_k≠0，b=2.2m，x=1.1m，验算条形基础翼板抗弯强度时，假定可按永久荷载效应控制的基本组合进行。试问，翼板根部处截面的弯矩设计值M，最接近于下列何项数值？

（A）61.53kN·m/m （B）72.36kN·m/m

（C）83.07kN·m/m （D）97.69kN·m/m

【答案】 （C）

【详解】 作题提示：①荷载标准值与设计值的关系，当永久荷载效应控制时可采用简化规则，S=1.35S_k；②本题还存在另外一种算法，即应用《建筑地基基础设计规范》8.2.14条的公式来计算翼板根部处截面的弯矩，读者可自行计算。

基础底面处土的净反力标准值为

翼板根部处截面的弯矩标准值为

按《建筑地基基础设计规范》3.0.5条的规定，荷载效应基本组合的弯矩设计值为

M=1.35M_k=1.35×61.53=83.07kN·m/m。

故（C）正确。

【简解】 基础底面处土的净反力标准值为

故

【3.5.8】 （2003年一级考题）

当F_k=300kN/m，M_k≠0，b=2.2m，x=1.1m，并已计算出相应于荷载效应标准组合时，基础底面处的平均压力值p_k=160.36kPa。已知：黏性土层①的压缩模量E_s1=6MPa，淤泥质土层②的压缩模量E_s2=2MPa。试问，淤泥质土层②顶面处的附加压力值p_z，最接近于下列何项数值？

（A）63.20kPa （B）64.49kPa （C）68.07kPa （D）69.47kPa

【答案】 （D）

【详解】 基础底面处土的自重压力值为

p_c=17×0.8+19×0.4=21.2kPa

由E_s1/E_s2=6/2=3，z/b=2.6/2.2=1.18>0.5，根据《建筑地基基础设计规范》表5.2.7，查得地基压力扩散角θ=23°。

按《建筑地基基础设计规范》式（5.2.7⁃2）计算得

故（D）正确。

【简解】p_c=17×0.8+19×0.4=21.2kPa

由E_s1/E_s2=3，z/b=1.18，查得θ=23°，则

【3.5.9】 （2002年二级考题）

某多层工业砌体房屋，采用墙下钢筋混凝土条形基础，其埋置深度为1.2m，宽度为1.5m。场地土层分布如图3.5.8所示。地下水位标高为-1.2m。

已知基础底面压力标准值p=134kN/m²，该处土的自重压力标准值p_c=22.8kN/m²。试确定软弱下卧层顶面处的附加压力设计值与其土的自重压力标准值之和（p_z+p_cz），与下列何项数值最为接近？

（A）70.20kN/m² （B）93.87kN/m² （C）102.81kN/m² （D）112.81kN/m2

【答案】 （C）

【详解】 作题提示：p_c为基础底面处的自重压力值，p_cz软弱下卧层顶面处的自重压力值；p₀基础底面的附加压力值，p_z软弱下卧层顶面处的附加压力值。

由图3.5.8中条件可知

E_s1/E_s2=9/3=3.0

z/b=（2.2-1.2）/1.5=0.67>0.5

根据《建筑地基基础设计规范》表5.2.7，查得地基压力扩散角θ=23°。

根据《建筑地基基础设计规范》式（5.2.7⁃2），软弱下卧层顶面处的附加压力为

软弱下卧层顶面处土的自重压力为

p_cz=22.8+（19-10）×1=31.8kPa

所求为p_z+p_cz=71.04+31.8=102.84kPa

故（C）正确。

【简解】 由E_s1/E_s2=9/3=3.0；z/b=（2.2-1.2）/1.5=0.67，查得θ=23°。

所以p_z+p_cz=71.04+31.8=102.84kPa

【3.5.10】 （2003年二级考题）

某多层住宅墙下条形基础，其埋置深度为1000mm，宽度为1500mm，钢筋混凝土地梁宽度为300mm。地基各土层的有关物理特性指标、地基承载力特征值f_ak及地下水位等，均如图3.5.9所示。

假定p_k=108.2kPa。试问，软弱下卧层（淤泥）顶面处相应于荷载效应标准组合的附加压力值与土的自重压力值之和（p_z+p_cz），最接近下列何项数值？

（A）64.92kPa （B）71.17kPa （C）78.65kPa （D）88.65kPa

【答案】 （D）

【详解】 由图中条件可知E_s1/E_s2=4.8/1.6=3.0，z/b=1/1.5=0.67>0.5

根据《建筑地基基础设计规范》表5.2.7，查得地基压力扩散角θ=23°。

根据《建筑地基基础设计规范》式（5.2.7⁃2），软弱下卧层顶面处的附加压力为

图 3.5.8

软弱下卧层顶面处土的自重压力为

p_cz=17.6×1+（19.3-10.0）×1=26.90kPa

所求为p_z+p_cz=57.86+26.90=84.76kPa

故（D）正确。

图 3.5.9

【简解】 由E_s1/E_s2=4.8/1.6=3.0，z/b=1/1.5=0.67，可查得θ=23°

所以p_z+p_cz=57.88+26.90=84.76kPa

【3.5.11】 （2009年岩土考题）

某柱下独立基础地面尺寸为3m×4m，传至基础底面的平均压力为300kPa，基础埋深3.0m，地下水位埋深4m，地基土的天然重度为20kN/m³，压缩模量E_s1为15MPa，软弱下卧层层顶埋深6m，压缩模量E_s2为5MPa。试问，在验算下卧层强度时，软弱下卧层层顶处附加应力与自重应力之和最接近于下列何项数值？

（A）199kPa （B）179kPa （C）159kPa （D）79kPa

【答案】 （B）

【解答】 基础底面以上的土的自重应力为

p_c=γh=20×3=60kPa。

由；，根据《建筑地基基础设计规范》表5.2.7的规定，得θ=23°。

根据《建筑地基基础设计规范》式（5.2.7⁃3），软弱下卧层顶面处的附加应力为

软弱下卧层顶面的自重压力为

p_cz=4×20+2×10=100kPa

p_z+p_cz=79+100=179kPa