马怀德牵星板引人关注的原因之一，是其中出现了“指”和“角”两个计量单位。中国明代航海文献中屡见这类记载，例如《顺风相送》中的《古里往祖法儿》航线：
过礁头开洋，辛戌五十更，看北辰六指三角、灯笼星八指三角；单辛七十更，看北斗七指三角、灯笼星七指三角，取祖法儿马头，水六托，泊船是也。[33]
在上文所引《戒庵老人漫笔》的描述中，牵星板“大者长七寸余，标为一指二指以至十二指，俱有细刻若分寸然。又有象牙一块，长二尺，四角皆缺，上有半指半角一角三角等字，颠倒相向”。作为计量单位的“指”究竟是何种含义？国内相关研究的讨论集中于它是中国原创还是由阿拉伯航海术引入，以及其代表的角度究竟为多少，但一直未有定论，如《牵星术——我国明代航海天文知识一瞥》认为其角度在1°34′和1°36′之间[34]，而《航海天文》调研小组则认为1指约相当于1.9°[35]。在这种情况下，观察阿拉伯航海术中相关概念的形成过程及其含义，对此问题或有可参考之处。
1836年发表的《关于阿拉伯人的航海仪器》一文介绍了印度洋航海者使用的天体测量工具kamal，它的计量单位后来被通称为isba。在文章的开头，作者解释了isba一词的含义：一位阿拉伯海员伸直手臂，在地平线上并拢自己的手指，用它们计算北极星的高度。根据这种解释，isba其实就是“指”，它是一种粗略的早期导航方式。[36]
在航海工具kamal上，isba有另一种表现方式。按照文章中记载，这种工具的使用和制作方法是：取一块边长约2英寸的方形木板，将一根绳子穿过木板中心，绳子上打9个结。使用这种工具测量北极星的高度时，观测者用牙齿咬住绳子，木板下缘对准海平面，上缘对准北极星（如图3-9所示）。绳子打结的方式是，首先将木板宽度乘以5，在绳子上标记，并将这段绳长作为一个整体，等分为12段，然后在距离木板第6段处打第一个结，称为“12”。再将这段长度为木板五倍的绳长等分为11段，在距离木板第6段的地方也打一个结，称为“11”。以此类推，再分别等分成10、9、8、7和6段，也是在第6段上打结。这样，到等分为6段并打结时，恰好打结在长度为木板5倍的绳长上，这个点称为“6”。然后在此段绳长之外，再延伸出一个木板宽度的地方，打结称为“5”，又在另外延伸出1.5倍木板宽度的地方，打结称为“4”。一般到了这里，打结就结束了。[37]这些打结的数字就是isba（指）在kamal上的表现形式。
图3-9 《关于阿拉伯人的航海仪器》中的kamal[38]
图3-10 kamal计算原理示意图[39]
由于在北半球观察北极星时，其仰角等于观测者所在的地理纬度，所以当绳子垂直于木板时，根据kamal上一系列绳结的位置，就可以用计算余切值的方法测算出当地纬度。从图3-9、图3-10中可知，绳结对应的角度θ是当地纬度的一半，∠AOC的度数等于当地纬度，当木板长度AC为2英寸，绳子的长度OB是板长的5倍时，第N个绳结对应的角度θ的余切值计算过程如下：
cotθ=〔2（板长是2英寸）×5（绳子是板长的5倍）×6（在第6段上打结）/N （绳子被均分成N段，N=12，11，10……4）〕/1（板长的一半是1英寸）
=60/N（N=12，11，10……4）
当绳长是板长的5倍时，共打9个结，即4指到12指，可测量的纬度区间是 7°36′—22°38′，每两个结之间的纬度差保持在1°50′—1°56′，即1.9°左右，近似两个纬度。
图3-11 《关于阿拉伯人的航海仪器》中的计算数据（绳长为木板边长5倍时）[40]
除了这种绳长是板长5倍的kamal之外，《关于阿拉伯人的航海仪器》中还提到了另一种kamal。它与前一种相似，只是绳长从板长的5倍变成了6倍，绳结的数量也从9个变成了16个。这种kamal可测量的纬度区间是1°36′—25°04′，每两个结之间的纬度差是1°31′—1°36′。它的纬度计算方式是：
cotθ=〔2（板长是2英寸）×6（绳子是板长的6倍）×6（在第6段上打结）/N（绳子被分成N份，N=16，11，10……1）〕/1（板长的一半是1英寸）
=72/N（N=16，11，10……1）(www.xing528.com)
图3-12 《关于阿拉伯人的航海仪器》中的计算数据（绳长为木板边长6倍时）[41]
Kamal的计算原理表明，它是三角学发展的产物，尤其是余切或正切函数发展的产物，这种简易工具的原型应与天文数学家制造的测量仪器相关。《印度洋中的阿拉伯导航史》中总结了这一发展过程：测星高的工具“花剌子模杖”带有刻度，它建立在三角函数的原理基础上，木杖后来被沿间隔打若干结的绳子取代，绳子从木板中心穿过。在夜晚的航船上，可以用这种工具测量星辰在地平线之上的高度。[42]这种工具与阿拉伯数学家阿尔·巴塔尼（852—929）的成就相符，他曾制作了从0°到90°之间每相隔1°的余切表，而kamal赖以计算的每个半角都接近1°。之所以将绳子长度取为木板边长的5倍或6倍，平分成若干段后再分别在第6段上打结，也是出于实际操作需要，人手臂长度有限，要满足等式所需的条件，必须在绳长和绳结位置之间取一平衡点。[43]从文献记载来看，在不同时间和不同地点，isba代表的数值和kamal的形制有所不同。比如在1394年时，它是1°56′，而在1550年时，它是1°33′。[44]
由于翻译中遗漏了每次等分绳子后，都要在第6段上打结的信息，《牵星术——我国明代航海天文知识一瞥》中将牵星板的使用方法解释为手持一根72厘米的绳子结合一系列木板使用[45]，并计算出1指在1°34′和1°36′之间，近似1550年时isba的数值。而《中国古代航海天文》中将持牵星板的手臂长度取为60厘米，并计算出1指的数值约为1.91°，近似1394年时isba的数值。后者认为中国的牵星板是垂直手持的，其计算方式如下图：
图3-13 《中国古代航海天文》中的垂直测量法计算原理示意图[46]
需要计算的α是∠SOL，即当地纬度，取最小的1指牵星板边长约2厘米，“对一般的中国人来说，其手臂向前伸直后，母指虎口到眼的距离约为手指宽的30倍（即约60厘米），则手指张角的度数为：
tgα=2/60=0.0333
α=1°.91”[47]
为什么这种计算结果会与第一种kamal代表的角度基本一致？从计算方法来看，因为后者取1指时，tan（α/2）=（1/60），计算出的α/2需要乘以2才是实际纬度值，一个是tan（α/2）求出的角度乘以2，一个是tanα直接求角度，算出的数据结果较为接近。由前文可知，作为1°52′和1°36′的isba（指）都曾经在印度洋周边出现过，一指究竟代表的是1°52′还是1°36′，其差异是由于kamal的形制发生了变化，绳长从板长的5倍变成了6倍，才使一指对应的数值相应发生了改变。
从以上情况来看，国内相关研究的结果与《关于阿拉伯人的航海仪器》中给出的数据看似相近，但操作原理却完全不同。由之前的计算过程可知，这里的72和60是几个数据相乘后的结果，不能直接简化成绳长或手臂的长度。而手臂的长度也因人而异，不宜作为固定数据引入计算，例如《中国古代的恒星观测》一文中就提出：“按作者自己手臂最远自然长度约为40厘米”[48]。
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