数据的表达方法：表格、图示和经验公式

通过试验检测可获得一系列数据，如何对这些数据进行深入的分析，以便得到各参数之间的关系，甚至用数学解析的方法，导出各参数之间的函数关系，是数据处理的任务之一。测量数据的表达方法通常有表格法、图示法和经验公式法 3 种。

1.表格法

表格法是指用表格表示函数的方法，在自然科学和工程技术上用得特别多。在科学试验中一系列测量数据都是首先列成表格，然后再进行其他的处理。表格法简单方便，但要进行深入的分析，表格就不能胜任了。首先，尽管测量次数相当多，但它不能给出所有的函数关系；其次，从表格中不易看出自变量变化时函数的变化规律，而只能大致估计出函数是递增的、递减的或是周期性变化的等。列成表格是为了表示出测量结果，或是为了以后的计算方便，同时也是图示法和经验公式法的基础。

表格有两种：一种是试验检测数据记录表，如路基土石方工程检测记录表；另一种是试验检测结果表，如石方路基质量检验评定表，如表 1.2.3、表 1.2.4 所示。

表格法

路基土石方工程检测记录格式

表1.2.3　路基土石方工程检测记录表

表1.2.4　石方路基质量检验评定表

试验检测数据记录表是该项试验检测的原始记录表，它包括的内容应有试验检测目的、内容摘要、试验日期、环境条件、检测仪器设备、原始数据、测量数据、分析结果以及参加人员和负责人等。

试验检测结果表只反映试验检测结果的最后结论，一般只有几个变量之间的对应关系。试验检测结果表应力求简明扼要，能说明问题。

2.图示法

在自然科学和工程技术中用图形来表示测量数据是最普遍的一种方法。图示法的最大优点是一目了然，即从图形中能非常直观地看出函数的变化规律，如递增性或递减性，最大值或最小值，是否具有周期性变化规律等。但是，从图形上只能得到函数变化关系而不能进行数学分析。同时想从图形上获得某点对应的函数值时，图示法误差常常会显得过大。

3.经验公式法

测量数据不仅可用图形表示出函数之间的关系，而且可用与图形对应的一个公式来表示所有的测量数据，该公式不可能完全准确地表达全部数据。因此，常把与曲线对应的公式称为经验公式，在回归分析中则称之为回归方程。

图示法

经验公式法

把全部测量数据用一个公式来代替，不仅有紧凑扼要的优点，而且可以对公式进行必要的数学运算，以研究各自变量与函数之间的关系。根据一系列测量数据，可建立相应的公式，步骤如下：

（1）描绘曲线，即以自变量为横坐标，函数量为纵坐标，将测量数据描绘在坐标纸上，并把数据点描绘成测量曲线。

（2）对所描绘的曲线进行分析，确定公式的基本形式。

① 如果数据点描绘出来的基本是直线型态，则可用一元线性回归方法确定直线方程。

② 如果数据点描绘出来的是曲线，则要根据曲线的特点判断曲线属于何种类型。判断时可参考现成的数学曲线形状加以选择，对选择的曲线按一元非线性回归方法处理。

③ 如果测量曲线很难判断属何种类型，则可按多项式回归处理。

（3）曲线化直。如果测量数据描绘的曲线被确定为某种类型的曲线，则可先将该曲线方程变换为直线方程，然后按一元线性回归方法处理。

（4）确定公式的常量。代表测量数据的直线方程或经曲线化直后的直线方程表达式为y=a+bx，可根据一系列测量数据确定方程中的常量 a 和 b，其方法一般有图解法、端值法、平均法和最小二乘法等。

（5）检验所确定公式的准确性。即用测量数据中的自变量的值代入公式计算出函数的值，看它与实际测量值是否一致，如果差别较大，说明所确定的公式基本形式可能有错误，则应建立另外形式的公式。

在具体工程应用中，如果两个变量之间存在一定的关系，并通过试验获得x和 y 的一系列数据，用数学处理的方法得出两个变量之间的关系式，这一过程就为回归分析，即工程上所说的拟合问题，所得到的关系式称为经验公式，或称回归方程（拟合方程）。(www.xing528.com)

在道路工程检测试验中，我们所遇到的测量数据大都是呈直线型态的，即两个变量x和y之间的关系是线性关系，为一元线性回归问题，我们重点学习常用的一元线性回归，回归分析的表达式为：

y=a+bx

其中，a，b 为回归系数。

回归分析的首要任务是通过统计方法求出直线方程中的 a，b。为了直观地看出变量 a与 b 间的关系，常以 x 为横坐标，y 为纵坐标，将相应的数据绘制成散布图，所有点是围绕一条直线散布的。显然，这样的直线可以画出许多条，而 a，b 值构成的最优直线必须使函数值 y 与实际测量值 x 之间的偏差最小。理论分析与工程实践均表明，最小二乘法确定的回归方程偏差最小。最小二乘法的基本理论为：当所有测量数据的偏差平方和最小时，所拟合的直线最优。a，b 的计算如下：

式中

（6）相关关系——线性相关的显著性检验。

回归直线方程求得后，还需解决一个问题：x 与 y 是否真有线性关系？或者说 x 与 y 的线性相关程度如何？应用相关系数检验法就能解决这个问题，相关系数检验法其公式为：

式中 Lyy——y 偏差平方和，

当|γ|=0时，x 与 y 完全为线性无关的；

当|γ|=1时，x 与 y 完全线性相关；

当0 ＜|γ|＜ 1 时，x 与 y 线性相关程度介于中间状态，但是当|γ|接近 1 的程度如何才能认为是线性相关的呢？对于给定的置信度（测量数据与真实值的匹配程度）α，α 可在相关系数临界表中查出临界值0γ。当由样本计算出的γ值大于临界值0γ，则认为 x 与 y 存在线性相关关系，或者认为线性相关关系显著；当γ小于或等于临界值0γ时，则认为 x 与 y 不存在线性关系，即线性关系不显著。

【例 1.2.16】 对路基土进行承载比（CBR）试验，室温为 20 °C，湿度为 70%，测力环检定结果如表 1.2.5 所示。

表1.2.5　检 定 结 果

试计算测力环系数，并检验其线性关系的显著性。

【解】 对测力环检定结果进行线性回归分析，如表 1.2.6 所示。

表1.2.6　测力环进程与荷载回归直线计算

经计算有

回归方程为

y＝－4.219＋4.259x

（1）测力环系数为 4.259，则有

C＝4.259 kN/mm＝42.59 N/0.01 mm

（2）线性关系的显著性检验：

γ=0.999 84，和 1 非常接近，我们认为x 和 y 是线性关系显著的。