正态分布-道路工程试验与检测

正态分布

正态分布也叫误差分布，在对某一测试对象进行多次测试时，测定值在真值附近的一定范围内波动，其中接近平均值的数值占绝大多数，大于和小于平均值的频率几乎一样，远离平均值的占少数，这种分布规律叫“正态分布”，用图形表示称为正态分布曲线。在道路检测试验中得到的数据分布规律多为正态分布。正态分布的概率密度函数计算公式为

式中 y——测定值的概率密度；

X——测定值的平均值；

xi——某测定值；

σ——标准差。

f (x)的图形如图 1.1.1 所示，可以看出，正态分布曲线具有以下性质：

（1）曲线关于x＝对称，表明对于任意的σ＞0，有

（2）当x＝时，f(x)取到最大值，即

图1.1.1　正态分布图

x 离X越远，f(x)的值越小。这表明对于同样长度的区间，当区间离X越远，f(x)越小，即x落在这个区间的概率越小。

（3）在x=±σ处曲线有拐点，曲线以 x 轴为渐近线。

（4）若令，并将其代入式（1.1.9）中，则得

特别指出，当=0, σ=1时，此时的正态分布称为标准正态分布，记为N(0, 1)。其标准正态分布图形如图 1.1.2所示，整个正态分布曲线与横轴之间所包含的总面积（即概率）应为 1，其分布函数为

图1.1.2　标准正态分布图

表1.1.1　标准正态分布概率系数表(www.xing528.com)

续表

表1.1.2　路基路面检测常用系数表

【例 1.1.7】 若某检测值 x～N(0, 1)，求 P{－1 ＜ x ＜ 1}。

【解】 由于该检测值服从=0, σ=1的正态分布，则有

查表1.1.1，当 Za＝1 时，Φ(1)＝0.8413，P{－1 ＜ x ＜ 1}＝2Φ(1)-1，则有

P{－1 ＜ x ＜ 1}＝68.26%

利用公式（1.1.12），我们可以求得双边置信区间的几个重要数据：

式中，Za通常称为保证率系数，在工程应用中，其取值与公路的等级有关。X为样本平均值，σ常用样本标准差 S 代替。式（1.1.13）可以这样理解：试验所测得的值在误差区间（-Zaσ，X+Zaσ）的可能性（或概率值）的大小，如 P{－3σ ＜ x ＜＋3σ }＝99.73%，理解为：试验所测得的值在误差区间（－3σ，＋3σ）的概率为 99.73%。在工程试验中，我们所测得的实际值是很难达到这个精度要求的。但我们可以人为地制定误差区间，即规定 Za值的大小，或规定合格率的大小。如果检测值满足规定的要求，则数据合格；否则，数据不合格。

【例 1.1.8】 某预应力混凝土梁设计强度 RD＝40 MPa，按规定的方法制备试块，经 28 d标准条件养护后，各组试块抗压强度如表 1.1.3 所示，规范要求合格率为 85%，求该批混凝土平均值、标准差、变异系数，并对该批混凝土进行质量评定，（混凝土立方体抗压强度标准值计算公式为：=RD+Zaσ）。

表1.1.3　混凝土强度试验结果

【解】 根据公式有

抗压强度标准值计算公式：

查表 1.1.1 可得 Φ(1.09)=0.862 1，Φ(1.10)=0.864 3。

内插可得：

P=Φ(1.097)＝0.862 1＋(0.864 3－0.862 1)×0.7＝86.36% ＞ 85%

故该批混凝土质量合格。