整式的升幂排列及其推导分析

（1）单项式

1）单项式的次：单项式每一个字母因子的次方之和叫作单项式的次，如ab的次为2，ab3xy2的次为7.

2）单项式的系数：单项式字母前的常数叫作单项式的系数.

3）同类单项式：如果两个单项式之间只有系数不同，其他部分完全一样，就称这两个单项式是可合并的单项式，也叫同类单项式.

4）单项式相等应满足对应的系数、字母、次数完全相等.

（2）多项式

1）多项式的次：多项式中的单项式的最高次叫作多项式的次，如：ab＋a3b是四次多项式，ab3＋xy2是四次多项式.

2）多项式的项：在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的叫作常数项.一个多项式有几项就叫作几项式，多项式中的符号看作各项的性质符号.

3）多项式的分类（在一元范围内）

①一次多项式：关于x的一次多项式是指主元为x，主元的最高次为1，形如ax＋b.

②二次多项式：关于x的二次多项式是指主元为x，主元的最高次为2，形如ax2＋bx＋c.

③高次多项式：关于x的高次多项式是指主元为x，主元的最高次大于2，形如

4）多项式的降幂与升幂排列

降幂排列：多项式中每一项的次方递减，如anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0.

升幂排列：多项式中每一项的次方递增，如a0＋a1x＋…＋an－1xn－1＋anxn.

A.1　B.2　C.3　D.4　E.5

综上所述，答案是A.

例6　（条件充分性判断）（x2＋px＋q）（x2－3x＋q）的结果中不含有二次项与三次项.

解析　条件（1）单独不能推出结论，条件（2）单独也不能推出结论.推导：

先对结论等价转化：

展开（x2＋px＋q）（x2－3x＋q）＝x4＋（p－3）x3＋（2q－3p）x2＋…⇒

故条件（1）不能推出结论，条件（2）也不能推出结论.

但（1）与（2）联合起来充分.

综上所述，答案是C.

（3）整式的运算

1）整式的加减运算：去括号，合并同类项.

【注】合并同类项时“系数相加减，字母不变”.

2）整式的乘法运算：整式的乘法运算主要参见乘法公式（a＋b）（c＋d）＝ac＋ad＋bc＋bd进行运算.(www.xing528.com)

【注】单项式相乘“系数相乘，次方相加”.

3）整式的除法运算：

带余除法：若f（x）除以g（x）的商为h（x），余数为r（x），则称g（x）为除式，f（x）为被除式，记为f（x）＝g（x）×h（x）＋r（x），其中r（x）的次数小于g（x）的次数.

【注】碰到这一类题时要把上面的式子写出来，还要记住r（x）的次数小于g（x）的次数，并根据g（x）的次方设出r（x）的次方.

整除：若g（x）除f（x）没有余数，则称g（x）整除f（x），记为g（x）│f（x）.

（4）整除性质

多项式整除性质：

1）传递性：若g2（x）│g1（x），且g1（x）│f（x），则g2（x）│f（x）.

2）线性性质：若g（x）│f1（x），且g（x）│f2（x），则有g（x）│[f1（x）±f2（x）]，一般的有g（x）│[u（x）f1（x）±v（x）f2（x）]，其中u（x），v（x）为任意多项式.

（5）整式的基本公式

1）平方差公式：a2－b2＝（a－b）（a＋b）

2）立方差公式：a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2）＝（a－b）[（a－b）2＋3ab]

3）立方和公式：a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）＝（a＋b）[（a＋b）2－3ab]

4）完全平方和公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2

5）完全平方差公式：（a－b）2＝a2－2ab＋b2

例7　先化简，再计算.

（1）求代数式（4xy3－8x2y2）÷4xy＋（2x＋y）·（2x－y）的值，其中x＝1，y＝4.

（2）求代数式[（x＋2y）（x－2y）＋4（x－y）2－7xy]÷5x的值，其中x＝2，y＝1.

代入数值可得，原式＝－4.

代入数值可得，原式＝－1.例8　若x4＋2x3＋ax2－bx＋1除以x2－1所得余式为2x－1，则ab＝（　）.

A.0　B.2　C.3　D.－3　E.6

解析　由已知可得：x4＋2x3＋ax2－bx＋1＝g（x）（x2－1）＋（2x－1）

取特殊值：当x＝1时，1＋2＋a－b＋1＝1　①

当x＝－1时，1－2＋a＋b＋1＝－3　②

由①②，解得a＝－3，b＝0，则ab＝0.

综上所述，答案是A.