正整数的分类质数与合数，详解质数与合数性质

（1）正整数的分类

（2）质数与合数

1）质数与合数的定义：一个大于1的正整数，若它的正因数只有1和它本身，则称这个整数为质数（或素数）；一个大于1的整数，若除了1和它本身，还有其他正因数，则称这个整数是合数（或复合数）.

2）质数与合数的性质

质数的性质：任意一个整数与一个质数要么互质，要么是这个质数的倍数；若质数P整除a1…an，则质数P至少能整除a1，a2，…，an中的一个，最小的“偶”质数为2，最小的“奇”质数为3.

常见的质数有“2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，…”

合数的性质：最小的合数为4.

【注】“1”既不是质数，也不是合数；

“2”是质数中唯一的偶数.

例8　三名小孩中有一名学龄前儿童（年龄不足6岁），他们的年龄都是质数（素数），且依次相差6岁，他们的年龄之和为（　）.

A.21　B.27　C.33　D.39　E.51

解析　准备工作：

（1）质数：只有两个正约数（1和本身）的正整数叫作质数.

（2）实战必备：小于100的质数是（共25个）.

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97

回归本题，解析如下：

年龄不足6岁（设为x岁）是突破口.

小于6的质数共三个：2，3，5，下面分类讨论：

当x＝2时，根据年龄依次相差为6岁，得2，8，14（舍）.

当x＝3时，根据年龄依次相差为6岁，得3，9，15（舍）.

当x＝5时，根据年龄依次相差为6岁，得5，11，17.

故他们的年龄之和为5＋11＋17＝33.

综上所述，答案是C.

例9　三个质数之积恰好等于它们和的5倍，则这三个质数之和为（　）.

A.11　B.12　C.13　D.14　E.15

解析　方法一：　设三个质数分别为P1，P2，P3.

由已知P1P2P3＝5（P1＋P2＋P3），即5|P1P2P3.

由于5是质数，所以5一定整除P1，P2，P3中的一个.

不妨设5|P1，又由于P1是质数，可知P1＝5，所以，5P2P3＝5（5＋P2＋P3），

综上所述，答案是D.

方法二：　试算，选项不超过15，可试得2，5，7符合题意，2＋5＋7＝14，答案是D.

（3）倍约与除余

1）若a能整除N，则N叫作a的倍数，a叫作N的约数.

2）a与b的最小公倍数与最大公约数分别记为[a，b]，（a，b）.

求法如下：

方法一：多元短除法（如右图所示，直到互质为止）

72，84的最小公倍数是[72，84]＝2×2×3×6×7＝504.

72，84的最大公约数是（72，84）＝2×2×3＝12.

【实用口诀】最大公约数取侧部，最小公倍数取全部.(www.xing528.com)

方法二：分解质因数法

【实用口诀】最大公约数取小者，最小公倍数反取大.

方法三：辗转相除法

两数的最大公约数等于其中较小数与大数除以小数的余数的最大公约数.如此辗转相除，直到一数是另一数的倍数.

【实用口诀】大数用余留小数，直到出现倍数状.

例10　（条件充分性判断）a，b的最大公约数是109.

（1）a＝1308.　（2）b＝3379.

解析　条件（1）和（2）单独不能推出结论，联合可以推出结论.推导：

数字较大时用辗转相除法.

（1308,3379）＝（1308,763）＝（545,763）＝（545,218）＝（109,218）＝109.

综上所述，答案是C.

例11　（条件充分性判断）存在正整数a，b，使得ab＝750.

（1）a，b的最大公约数是35.　（2）a，b的最大公约数是15.

条件（1）和（2）分别推不出结论，推导：

（1）假设存在这样的正整数a，b，（a，b）＝35不能整除750.矛盾，故推不出结论.

（2）假设存在这样的正整数a，b，（a，b）＝15⇒[a，b]＝50，最小公倍数却不是最大公约数的倍数，矛盾，故推不出结论.

条件（1）和（2）联合矛盾，也推不出结论.

综上所述，答案是E.

3）整除：若a除N没有余数，则称a整除N，记为a|N.

整除的性质：

传递性：若a是b的倍数，b是c的倍数，则a是c的倍数.

线性性质：若a是c的倍数，b是c的倍数，则对于任意的整数m，n，线性和（差）ma＋nb都是c的倍数.

4）将带余除法转化为整除：若a除以b余c，则a－c能被b整除.

5）互质的概念：若a与b的最大公约数是1，那么称a与b互质.

6）质因数分解：任意正整数都能唯一分解为质因数之积.

即N＝mp11 mp22…mpnn，则约数个数为（p1＋1）（p2＋1）…（pn＋1）.

例12　（条件充分性判断）整数x除以15的余数是2.

（1）整数x除以3的余数是2.（2）整数x除以5的余数是2.

解析　条件（1）和（2）单独不能推出结论，联合可以推出结论.推导：

根据带余除法可设x－2既是3的倍数，又是5的倍数⇒x－2是15的倍数⇒x－2＝15k⇒x＝15k＋2⇒整数x除以15的余数是2.

综上所述，答案是C.

例13　（条件充分性判断）整数除以15的余数为14.

（1）整数除以3的余数是2.　（2）整数除以5的余数是4.

解析　条件（1）和（2）单独不能推出结论，联合可以推出结论.推导：根据带余除法可设x＋1既是3的倍数，又是5的倍数，

可知x＋1是15的倍数，x＋1＝15k，

则x＝15k－1＝15（k－1）＋14，即整数x除以15的余数是14.

综上所述，答案是C.