二阶速度势的定解问题

由二阶力的完整表达式（12.16）可知，其中包含了二阶速度势Φ（2）产生的压力场的贡献。本节将阐述二阶速度势定解问题的组成及其分解。

实际上，在第2、4章中已经给出了二阶速度势Φ（2）需要满足的自由面条件和物面条件，即式（2.53）和式（4.48）。归纳起来，Φ（2）应满足的定解问题为

其中物面条件中的由式（4.48）的右端项定义，它包括了一阶运动位移、速度及一阶速度势和坐标偏导之间的二阶耦合项，但不包括物体二阶运动量，这说明待求解的是激发二阶运动的干扰力，与前面推导二阶力表达式时的限定一致。

上述四个定解条件作为Φ（2）的定解问题并不完整，还需要补充离物体无限远处的辐射条件。在描述辐射条件前，首先将Φ（2）进行一次分解。

一阶速度势Φ（1）为一阶入射波速度势、一阶绕射速度势和一阶辐射势的线性叠加，即

因此在自由面条件［式（12.31）］右端的二次项中，经展开必有一部分项只含的二次项；也就是说，这些项所联系着的那部分二阶势只与一阶入射波的运动有关，与物体运动无关。把这部分二阶势先分离出来，发现它就是第3章中讨论过的二阶入射波速度势（详见3.5节）。现设场内二阶速度势Φ（2）为

式中，为二阶入射波速度势，为二阶扰动速度势或散射速度势。将以上两式代入式（12.31），易得到和的自由面条件分别为

和

式（12.36）再加上满足的拉普拉斯方程和池底条件所组成的定解问题实际上就是3.5节中二阶入射波速度势的定解条件。对于一阶规则来波，二阶入射波速度势是已求解量。在有限深水中，由式（3.57）给出；对于无限深水，消失，或谓对二阶问题同样适用。二阶入射波速度势在物面上诱导的法向速度应由的影响抵消，即应满足物面条件：

显然，还应满足拉普拉斯方程和池底条件，它们的形式与式（12.30）和式（12.33）完全一样。

除此之外，还应满足辐射条件。由Φ（2）的分解式（12.35）已知，代表的速度势是由扰动引起的，包括物体存在对二阶入射波流场的扰动，因此，在距物体无限远处应代表向外传播的辐射波，这或为二阶散射势辐射条件的一个物理描述。这一辐射条件如何写成确切的数学表达目前仍不清楚，即使对一阶入射波和运动都是单一频率的振荡运动的简单情况亦是如此。同时，根据自由面条件［式（12.37）］，现在满足的自由面条件是非齐次的，右端出现了一阶入射波势与一阶扰动势之间的二阶耦合项，还有本身的耦合影响，它们来源于不能在一阶自由面条件中得到准确满足的二阶影响。正是由于这一非齐次项的出现以及它的分布特征，使得的求解相当困难。以下就一阶入射波是单一频率的规则波情况进一步说明这一点。

事实上，当一阶入射波是单频规则波时，场内总的速度势可记为

式中，ω为振荡圆频率，Φ（1）中含入射波及扰动的影响。对任意复变量A，B，利用关系式：

其中*号指变量的复数共轭，则式（12.37）的右端项可写成

由式（12.39）可知，自由面条件的非齐次项中第一项为与时间无关的定常项，另一项为倍频2ω振荡项。类似的推导施于物面条件式（12.38）可得出上述结论，感兴趣的读者可自行推导，这里仅简单地将物面条件写作

式中，（x，y，z）∈S 0；u n为与时间无关的定常法向速度，它是（x，y，z）的实函数；（x，y，z）则为法向速度以2ω频率脉动的复数振幅。考虑到上面两式的结构，设

其中（x，y，z）为中的定常部分，是个实函数；为振荡部分的复幅。

将式（12.41）代入自由面条件式（12.37）、物面条件式（12.40）及拉普拉斯方程和池底条件，并考虑到式（12.39），于得到须满足的定解条件为

其中由式（12.39）定义。同样，可以得到满足的定解条件，然而，因的所有条件均与时间t无关，是个定常速度势，对二阶及以下阶次的压力场没有任何贡献，事实上可以略去，此后就不再对它进行讨论。于是，所谓的二阶速度势定解问题实际上就是指定解问题式（12.42）。(www.xing528.com)

将式（12.42）与前几章频域内的一阶势定解问题相比较，发现，除自由面条件变成非齐次外，其他一些条件在数学形式上是等同的，当然，与相联系的振荡因子频率变成了2ω，自由面条件右端的非齐次项可以看作是自由面上的压力分布。事实上，如果设自由面上有脉动压力分布：

经推导容易得到速度势Φ=Re｛φe-2iωt｝满足的线性化自由面条件为［238］

其中。将上式与式（12.42）中的［F］类比，即可知现在自由面上相当于有压力分布：

这样，定解问题式（12.42）的物理意义就相当于一个物体在自由面上有脉动压力作用的流场中作某种形式的摇荡运动，摇荡或脉动的圆频率均为2ω，脉动压力分布于除被物体占据部分外的整个自由面上。这一定解问题的求解是困难的，不能现成地套用第5章中的格林函数解，因为那里的格林函数满足齐次的自由面条件。现有的一种处理方法是将进一步分解，令

和分别满足下列定解条件：

对，

对），

这样，与之总和依然满足定解条件（12.42），但和的物理意义变得更明了。注意到的定解条件中不含物面条件，自由面条件是非齐次的，这相当于流场仅在自由面上的压力（脉动的）作用下产生波动，这一波动在物面S 0上诱导的法向速度由加以抵消。的定解问题则相当于物体在自由面上压力恒为零的流场中作振荡运动，法向速度幅值为（x，y，z），同时受到因自由面压力作用所产生的波系的影响。的定解问题（12.44）与一阶势定解问题完全一样，只是振荡频率变成2ω，相应地，满足的色散关系为

式中，k（2）为二阶势引起的波动的波数。值得注意的是：的远方辐射条件可用数学形式写成式（12.44）之［R］，因为φ的物理意义与一阶问题相仿。因此，只要能够求得，的求解就没有什么的困难，可以套用第3章的格林函数法，将ω相应地改成2ω，k按式（12.45）决定即可。

困难就在于的求解。由自由面上压力变化而引起的波动问题是个古典问题。对于压力分布局限于一个区域或者即使分布于无穷区域，但压力分布在整个域中是绝对可积的情况，已经有许多成功的研究和现成的解决方案［238243］，然而现在的情况并非如此。仔细地考察式（12.43）中自由面条件［F］的右端非齐次项可以发现有两方面的困难。一方面，这些项中含的互乘项（包括它们的坐标偏导互乘），若略去与衰减速率和波动形式无关的因子，在远方的渐进形式将是（这里k由一阶波的色散关系k tanh k H决定），为平面入射波，在远方亦为φ（1）I～eikx=eikRcosθ。因此，其压力分布既分布于整个自由面的无穷区域上，又在远方的衰减形式为

并没有快到足以使压力分布在整个域上是绝对可积的。另一方面，式（12.46）与振荡因子e-2iωt相配，亦构成了一个向外辐射的行进压力波，若将k（1+cosθ）看作波数的话，则波数在周向是变化的，波频、波长也是如此。在这一压力脉动强迫作用下，水波在远方的辐射条件应如何确切地用数学语言描述，至今仍是不清楚的。但有一点是可以确定的，不满足通常三维情况下的辐射条件，如式（12.44）中的［R］，或者说，至少是未能证明其满足的。随之而来的一个显然推论就是二阶散射势0（这里k（2）由4ω2／g=k（2）tanh k（2）H决定）。

若来波是不规则的，或简单一些，考虑只含频率为ω1和ω2（ω1＞ω2）两个单频波的波群，仔细地处理自由面条件式（12.37）中的非齐次项和物面条件（12.38）后，可分解成

（i=1，2，3，4）的定解问题的组成和分解与前述步骤相仿，这时振荡频率分别应改为不满足或至少未能证明其满足辐射条件2ω1，2ω2，ω1+ω2和ω1-ω2，其中部分与低频波浪漂移力有关。

当然，与刚才讨论的一样，=1，2，3，4）的求解也存在着理论上的困难。由于人们对低频力的兴趣，于是就有一些近似的方法和考虑来处理低频二阶势的求解问题，在这里不讨论近似方法，有兴趣的读者可参考文献［244246］。

值得指出的是，对于二维柱体处于横浪中的情况，二阶散射势的求解问题已经得到完善解决，文献［247］在势流理论范围内严密地处理了自由面上特殊形式压力脉动引起的自由面波动问题，得到了二阶势的完整解和二阶力的完整计算结果。限于篇幅，在此不再赘述。

文献［248］对直立圆柱情况给出了自由面压力作用下二阶倍频势的数值解。他们将解分成两部分，一部分满足非齐次自由面条件，但不满足Laplace方程，另一部分满足齐次自由面条件和Helmholtz方程，两部分之和满足原定解问题。文献指出，此二阶势包含了自由波动项、强迫波动项和局部扰动项三种成分，强迫波动项的远方渐近形式与自由条件的非齐次一致，不满足Sommerfeld条件。文献给出的计算结果与试验结果比较吻合。该解的缺点在于只适用于底置并穿透水面的垂直等剖面柱，似难以扩展到一般浮体的情况。进而文献［249，250］从δ函数型压力分布的特解出发，给出了压力分布作用下的速度势的一般解，并讨论了解的远场辐射形态，同样得到了速度势含有上述三种成分的结论，并指出二阶绕射势作为一个整体，一般不满足Sommerfeld条件。文献［251］在二阶倍频力的研究，对波数为K（1+cosθ）的情况也给出了类似的辐射条件。这一辐射条件与Molin［252］的二阶弱解相对应。他们在文献［253］中用外域无限元与内域有限元结合的方法求解了直立圆柱和方柱在单色波中的非线性绕射问题。文献［254］从初边值问题出发得到了二阶倍频稳态的积分解，对解的考察证明二阶稳态解的远方辐射形式应含有自由波系和强迫波系。

文献［241］结合波阻增加，采用简单格林函数和高阶边界元数值离散计算求解，给出了二阶力的各成分分量。