船舶波浪上运动理论：二阶力压力积分法

现在讨论求取二阶波浪力的一种直观的方法，即船体表面压力积分法。按这种方法，主要是确定作用于船体表面的非线性压力，然后沿船体湿表面积分，并精确到ε的二阶量，其中的二阶量部分即为要求的二阶波浪力。这一方法能明显地揭示影响二阶力的各种因素，包括波浪和船体运动的耦合影响。

如前文所述，仍以摄动理论来处理船舶在波浪中运动这一本质上的非线性流体动力问题，只不过精确度比前述一阶问题（线性问题）高一个量阶而已。因此，尽管二阶理论能反映出非线性的某些现象，但它能处理的只是弱非线性问题，换句话说，仍限于处理船舶在微幅波中的微幅摇荡问题。

先考虑船体没有航速的情况。设场内流体速度势可展成ε的幂级数，即

式中，ε为一小参数，表征微幅波或微幅运动的量级；Φ（1）和Φ（2）分别为一阶和二阶速度势。事实上，一阶速度势中包括一阶入射波速度势、一阶绕射势，一阶辐射势，即

其定解问题的组成和求解已在第3～6章做过讨论。有了一阶势的解之后，进而确定二阶势的定解问题。实际上，前面章节中已给出了二阶速度势的自由面条件和物面条件，即式（2.53）和式（4.48）。下一节中对二阶势的定解问题组成和求解的若干考虑还要进一步讨论，这里暂且认为Φ（2）（x 0，y 0，z 0，t）是已知的，着重阐明二阶力的表达。

已经多次指出，流场中任意点上的压力可用伯努利方程计算，记为

其中所有的量都在固定坐标系o 0x 0y 0z 0中表达，且认为自由面上的压力p a=0；这样做并不失去一般性，因为自由面上的常压对船体受力没有贡献。

注意到船体没有航速时，固定坐标系o 0x 0y 0z 0即为以前定义的参考坐标系o′x′y′z′（见第4章），故船体所受的力在参考系中可表达为

式中，S为船体湿表面；为船体表面上单位内法线矢量，表达在参考系中。实际上，上式的使用并不方便，因为在参考坐标系中是变化的。既然船体作围绕平均位置的微幅运动，我们可以与以前仅讨论一阶问题时一样，把式（12.5）积分号中的变量在动坐标系中表达出来，且关于平均物面展开，这与定解问题的建立是一致的。于是，按式（4.44）精确到二阶有

其中i，j，k均可取1、2、3，），n=（n 1，n 2，n 3）为物面单位法线矢量在动坐标系中的表达，｛αj｝=（α，β，γ）为船体的三个角位移运动量，或可用表示，它是个二阶量；｛d ik｝即为4.4节中定义过的矩阵［D］，它包含α，β，γ的平方项或互乘项，因而是二阶量。同理，按式（4.39）有

式中，x′=｛x′i｝，x=｛x i｝分别为参考系和动坐标系中的坐标变量；为船体线位移运动量，也是一阶量；其余一些项的意义同上。若以向量记法，并将各量的阶次用上标明确地标出，则上面两式可记为

或者更进一步引进符号

将上面两式写成

在这些式子中，只记入船体的一阶运动，未考虑船体的二阶运动量。这是因为当考虑二阶力时，指的是激发船体产生二阶运动的二阶波浪干扰力。与一阶问题类似，事实上，船体因二阶运动而遭受的流体作用力将以二阶运动附加质量力和阻尼力的形式出现在运动方程右端。式（12.8），（12.9）中出现的二阶量是由一阶运动间的耦合产生的，并非真正的二阶运动。

类似于Φ的展开，现将p也展成ε的幂级数，并保留至二阶量，即

其中p（0）为场内流体压力的零阶项。即使流场不受扰动，或谓ε=0，场内流体静压力也总是存在的，于是有此零阶项。

将式（12.2）和式（12.10）代入式（12.4），并在船体运动的平均位置展开，注意精确到二阶，有

比较式（12.4）两端ε的同阶量，容易得到

精确到二阶，船体受力按式（12.5）可写成

这里已将船体瞬时湿表面S分解成平均湿表面S 0和因波浪及运动引起的湿面积变动ΔS之和，即S=S 0+ΔS，而后者是个一阶的变化量。另外，总为零，式中已经去除。即

各阶次的力分别有表达式：

以上表达式中Δ为排水体积；F（0）为静水浮力，与船体重力平衡；F（1）为一阶力，其中包括了一阶波浪干扰力、因运动产生的静水回复力和一阶运动引起的流体动作用力，它们都已在以前各章中分别述及；F（2）即所求的二阶波浪干扰力，如所约定，其中不包括二阶运动产生的流体作用力。

二阶力F（2）还可以写得更明确一些。F（2）表达式中第一个积分的首项可记为

上式表明，这一部分二阶力来源于沿着动坐标轴的一阶作用力分量的转动。同理，相对动坐标轴的重力分量转动影响也必须考虑进去，若乘以，使之与F（2）的量阶统一，即

将其加至式（12.14），可见F（2）的第一项为

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其中F（1）即为前述的一阶作用力。将式（12.11）中各式分别代入式（12.13）中各相应项，不难得到F（2）完整表达式：

式中，为相对波幅，定义为船体静止时水线wl在运动中与自由波面的距离，即

其中ζ（1）表示一阶波面位移，它不仅包含一阶来波，还应包括一阶绕射势和辐射势引起的波面起伏，为水线运动时的瞬时垂向位置。式（12.16）中沿水线的积分来源于积分，在ΔS积分时，设d S=（d l为沿水线的微弧段），在水线的平均位置上，，于是

将上式积分即得式（12.16）中最后一项沿水线的积分。由式（12.16）易见，二阶力中包含有6个分量，或谓6个影响因素：

（1）相对波高的贡献，即项

（2）由流体速度平方项引起的压力变化，即

（3）一阶压力梯度与一阶运动的耦合，即

（4）一阶作用力的转动效应，即项

（5）一阶运动间的耦合影响，即项。它或可认为是由于一阶运动耦合引起的二阶运动的影响（文献［232］中，显然遗漏了这项影响［235］）。

（6）二阶速度势的影响，即

图12.1为上述6个分量的示意图例。

作用于有航速船体的二阶力矩完全可仿效上述过程得到，根据文献［236］这里简要给出相关结果，首先给出船舶所受流体力的压力积分公式：

式中，n为物面法向；是平均湿表面。因为压力积分在平均湿表面计算，所以需要补充一个水线积分项，即上式中右端第二项，积分式中α代表外飘角，定义为船体与静水面的夹角。

图12.1　二阶力的6个分量

（a）相对波高的贡献；（b）力的转动；（c）速度平方项的贡献；（d）二阶运动的贡献；（e）一阶压力梯度与一阶运动的耦合；（f）二阶势的贡献

为得到压力的二阶量，需要对压力积分式（12.17）中的各变量展开成ε的幂级数，保留到二阶。

位置矢量r和物面法向n在参考坐标系中是变化的，根据文献［237］，将其展开成ε的幂级数为

式中，H是二阶坐标转换矩阵：

有航速时，流场压力p的伯努利公式为

式中，φs为流场定常速度势；φ为流场非定常速度势，φ=φ0+φd。

如前所述，需将压力p的伯努利方程展开成ε的幂级数，并保留到二阶，见式（12.10）。因为压力积分在船舶平均湿表面，所以还需要将p在船体运动的平均位置r b进行泰勒展开，精确至二阶，有

将式（12.10）和（12.21）代入伯努利方程（12.20），并注意定常速度势φs和和非定常速度势φ分别为ε的零阶量和一阶量，整理可得到流场压力的零阶分量p（0）、一阶分量p（1）和二阶分量p（2）：

进一步可以分析二阶波浪力的压力积分及成分。将物面位置矢量、法向和压力的幂级数展开式（12.18）和（12.22）代入到压力积分公式（12.17），则

非定常波面升高为

将上式代入式（12.23），保留对应系数为ε2的量，推导出有航速时域二阶波浪力的公式为

上式中水线积分项可进一步化简为单重积分，注意到非定常波高为一阶量。将各阶压力分量［式（12.22）］代入上式，整理得到

对有航速时的二阶波浪力，按照物理含义可进行细分，上式中各分量对应的不同的物理含义如表12.1所示。

表12.1　二阶波浪力各分量的物理意义