二阶波浪力理论与波阻增加计算

本书以前各章中，主要处理的是线性问题，即速度势满足的控制方程和边界条件都是线性化的，在求场内压力的拉格朗日积分式中也略去了非线性项。当入射波是微幅波，船舶运动是小量时，线性化的假设是可以接受的，这时波浪与船体相互作用的力学系统可视作一个线性系统。在规则入射波长时间的作用下，系统达到稳态。船体所受的稳态流体作用力以及船舶的稳态运动都是振荡的，振荡频率与入射波的振荡频率（船舶有均匀航速时为遭遇频率）一致，而且它们在一个周期中的平均值为零。在线性问题中，船舶本身的振荡运动和波浪作用可以分别处理，即辐射问题和绕射问题。

然而，随着工程上对船舶或海洋工程构造物受力或运动预报的要求日益增高，上述线性化模型就日益显出不足之处。许多观察表明：当船舶或海洋构造物锚泊在波浪中时，如果波浪是规则的，则除了产生与波浪频率（对有航速的船舶，取遭遇频率）一致的摇荡运动外，还伴有相对于浮体平均位置的偏移；如果波浪是不规则的，则伴有长周期的漂移运动，这一运动的频率远低于不规则波的特征频率，而且振荡运动的平均位置也将不在浮体原先的平衡位置上，产生了漂移。这一现象说明，在船体上必然作用有定常的或缓变的（低频的）波浪漂移力（steady or slow1y varying wave drifting forces）。一般来讲，水平方向的漂移运动较为突出。对锚泊的船舶或海洋浮式结构物而言，锚泊系统提供的水平运动回复力相对比较小，低频波浪漂移力的频率有可能与系统的较低水平运动固有频率相近，从而产生共振，进而产生相当大的水平运动，在锚泊系统中引起相当大的附加应力。对初稳性高度较低、水线面积较小的半潜式平台，定常横倾力矩可以引起较大的固定倾斜（steady tilt），从而直接影响平台的稳性。这些现象的正确描述和预估对锚泊系统或动力定位系统的设计以及海洋结构物的安全性无疑具有相当重要的意义。事实上，这部分波浪力对水面船舶在波浪中的操纵运动也是不可忽视的影响因素。当潜艇在波浪中近水面定深航行时，由于其特殊的中性浮态，二阶垂向力的影响尤为突出。船舶在波浪中的阻力增加也是二阶定常力的重要表现，它正比于波幅的平方。

除了这些定常或缓变的波浪力之外，还存在高频波浪力。在规则波中，高频波浪力的振荡频率为入射波频率的两倍。它对船体或结构的弹振（springing）和疲劳分析等都具有相当重要的意义。

上述这些现象的产生，显然不是线性理论所能解释的。由前面相关章节的推导可知，物体在波浪上的运动本质上是非线性的，所谓的线性化运动理论只不过是这一非线性问题摄动展开后的一阶近似。可以预料，如果精确到更高的阶次，所得的解中应该能反映出上述这些非线性现象。事实上，精确到二阶的结果就足以描述上述现象。为理解这一点，可以利用一个极为粗略的做法作些初步的说明。

波浪中浮体受到的流体动力为

式中，S为物体的湿表面；n i为物体表面广义单位内法线矢量的相应分量；p为物体表面的动压力，可按拉格朗日积分求得，即

设Φ为线性理论（即一阶近似）所得的场内总速度势，则Φ与入射波波幅A成比例，即

式中，ω为振荡频率，θ为相位角，将其代入拉格朗日积分式中，其第二项非线性项变成

或者为(www.xing528.com)

按式（12.1）积分后，其右端第一项即为定常波浪力（直流部分），后一项即为波浪力的高频分量，它们都精确到二阶。由上式可知，二阶波浪力与入射波波幅的平方成比例。

当入射波为一波组（基元波频率分别为ω1和ω2，两者相当接近）时，则容易看出，非线性项中除了有定常力和频率分别为2ω1，2ω2和ω1+ω2的高频分量外，还有ω1-ω2的低频波浪漂移力。所谓二阶波浪力就是上述波浪力的总称。船舶在波浪中航行时的平均阻力增加亦是纵向二阶波浪力的一种表现形式。

由此可知，二阶波浪力本质上是一种非线性力。关于它的研究可追溯到1924年未广（Suyehiro）［225］的工作。他通过实验首先发现了定常波浪力的存在，并将之归因于模型对入射波的反射。这以后渡边（Watanabe）［226］基于一阶傅汝德-克雷洛夫力和一阶船舶运动提出了一个二阶理论，部分地解释了未广的实验结果。海夫洛克（Havelock）［227］对在规则迎浪中纵摇和垂荡的船舶的平均纵向漂移力推导出类似于渡边的表达式，并用来估算船舶在迎浪时的阻力增加。但是这些理论仅部分地考虑波浪的绕射效应和由于物体运动产生的流体动力效应，因而只能给出波浪漂移力的提示性的表述。

对波浪漂移力的重要性的认识和深入的研究起始于20世纪60年代。丸尾（Maruo）［228］考虑由物面、自由面和远离物体的辐射控制面围成的流域，利用流域中能量和动量守恒方程，得到了浮体在规则波中平均二阶波浪力的一般表达式。丸尾证明，对二维浮体，水平方向的平均二阶波浪力与远离物体处的反射波波幅的平方成比例。之后丸尾的理论由纽曼（Newman）［229］、福汀森和密恰森（Faltinsen，Michelsen）［40］加以推广。格里兹玛和鲍克迈（Gerritsma，Beukelman）［230］则通过令船舶因纵摇和垂荡而辐射出去的能量与入射波所作的功相等来决定船舶在迎浪中的平均阻力增加（即纵向波浪漂移力）。有报道证实，与试验结果比较该理论确能给出良好的计算结果［231］。因为这类方法中出现的是速度势及其偏导在远场辐射控制面上的积分，故通称为远场积分法。上述方法具有计算简捷的优点，但它们不能细致地反映出影响二阶波浪力的因素，而且只能求出二阶波浪力中的定常部分（平均二阶波浪力）。

1974年，品克斯特和范奥塔默森（Pinkster，Van Oortmenssen）［232，233］提出了物体表面压力积分法，即所谓的近场法，直接求出物面上压力的所有的二阶分量，并按式（12.1）在物面上积分，以求二阶波浪力（或力矩）在各坐标轴方向上的分量。福汀森和乐肯（Faltinsen，Loken）［234］对横浪中的二维柱体用类似的方法得到了二阶波浪力的完整的解的表达，它包括规则波中的平均二阶波浪力和不规则波中的低频波浪漂移力。这一类方法可清楚地显示出二阶波浪漂移力的各种组成部分。这一方法出现后，二阶波浪力的研究得到了迅速的发展，包括各种理论结果之间及其与试验结果的比较和验证，慢漂力二阶统计理论的研究，以及为计算二阶慢漂运动所必需的波浪中阻尼的理论和试验研究。从二阶力本身的理论求解来说，归纳起来，主要的研究工作集中在两个方面：一是二阶速度势的严格求解，包括二阶势辐射条件的提法和对二阶势力学机理的阐述；二是引进一种替代方法，以避免二阶势的直接求解。

总之，二阶波浪力的研究目前仍然吸引着许多研究者的兴趣。在二阶浪力性质的认识、理论预估、试验验证和研究等方面仍存在着许多有待进一步发展和完善的地方。

本章主要讨论求取二阶波浪力的近场方法——物体表面压力积分法及有关的二阶速度势定解问题。对远场积分法则亦作简要的阐述。