船舶波浪上的运动理论：流域划分和混合格林函数法

图10.2　混合格林函数法的流域划分

由前面章节可知，求解船舶水动力问题方法时，根据所选取的格林函数不同，可分为自由面Green函数法和Rankine源法。自由面格林函数自动满足线性自由面条件和远方辐射条件，只需在物面上布置源汇。朱海荣等［82］和Datta等［198］使用该方法对船舶在波浪中航行时的水动力系数和运动响应进行了数值计算。然而当它被用于处理外飘船型时，数值计算往往会产生发散现象而无法继续进行。Rankine源不需满足任何边界条件，具有很强的灵活性，可以应用到船舶在波浪中大幅运动问题、自由面非线性问题等。但Rankine源法需要在较大的范围内离散自由面并布置源汇，对计算机性能要求很高，且计算耗时。对此，有些学者尝试同时使用两种格林函数，将二者的优点结合起来。人为地将流域用一个控制面划分为内域和外域，分别布置Rankine源和时域自由面格林函数进行求解。因为控制面的形状可以是任意的，所以只要取其为简单的直壁面（如圆柱面或长方体表面）就可以避免发散现象。如图10.2所示为引入包括直壁面及水平底面在内的控制面，其将整个流域分割为内域和外域两部分，内域由船体湿表面S b、内自由面S f、控制面S c和底面围成，记作域Ⅰ；外域由控制面S c、外自由面、远方辐射面S∞和底面围成，记作域Ⅱ。

对于无限水深初边值问题，采用格林函数法进行求解，在域Ⅰ中引入Rankine源作为格林函数，源偶混合分布形式的边界积分方程如下：

式中，∂／∂n q为沿域Ⅰ表面外法向的偏导数；Φ的上标Ⅰ表示速度势所属的区域，α（p）为场点p对应的立体角。

域Ⅱ中使用时域自由面格林函数，它自动满足线性自由面条件和远方辐射条件，因此只需在控制面上布置源汇，其边界积分方程为(www.xing528.com)

式中，∂／∂n q仍为沿域Ⅰ表面外法向的偏导数，即域Ⅰ、Ⅱ中处于控制面上相同位置的面元法线方向保持一致。

因为控制面实际上是一个假想的面，所以内外域中处于控制面上相同位置的物理量也应该是完全相等的。据此可以得出控制面上的额外的边界条件——域Ⅰ、Ⅱ速度势及其法向导数在控制面上处处连续，即

式中，n为各流域的外法向。利用上面的连续条件令方程式（10.137）和式（10.138）联立，将控制面上相同位置而上标不同的速度势（或其法向导数）视为同一个未知数，就可以求得所有边界上的未知速度势及其法向导数。设置较小的控制面可以节省计算量，Duan等［96］利用一个紧贴船体表面的假想竖直面分割流域，但它不适用于带球鼻艏的船型。Liu和Papanikolaou［95］将假想的竖直面外移，使内流场包含了部分自由面，并在大地坐标系中计算了S175船在规则波中的运动，但该方法需要在较大的计算域中使用重叠网格技术和动网格技术，计算繁杂耗时。唐恺等［97］在参考坐标系下利用一个假想的直壁控制面将流域分割成内域和外域，实现了有航速航行船舶的船舶运动问题的求解，由于可以把控制面布置得离船体较近，因而缩小了计算区域，计算效率更高。

由于内域、外域分别使用了不同的格林函数，该方法被称作混合格林函数法，另外，由于在每个流域中都应用了边界积分方程法（或边界元法），因此也称为多域边界元法。这与前文所述的匹配法是有区别的，匹配法中边界面上速度势与法向速度的特征函数展开形式是给定的，含有待定系数，而多域边界元法则是在辐射面边界上将每个面元的速度势与速度作为大小相等的同一未知变量，并将每个流域的积分方程联立并耦合求解。