船舶波浪上运动理论-物体振动线性理论

由于假定物体运动是围绕其平衡位置的微幅运动，因而上述物体运动的时域计算在很大程度上得到简化，其主要原因除自由面条件可线性化之外，另外，物面条件被近似看作在物面的平均位置上得到满足，因此物面及其法向矢量都与时间无关。更一般的情况是当物体作某种形式的任意运动时振幅比较大，物面的移动不能忽略，这时对某一固定坐标系来说，不仅物面随时间变化，物面法向矢量也是随时间变化的。严格来说，物体在自由面上做大振幅运动时，在自由面上引起的扰动也应是大的，应满足非线性的自由面条件。但如果认为尽管运动幅度大，但运动速度相对来说仍是低的，则自由面条件线性化亦无不可。本节将要阐述的物体大振幅运动的线性理论是建筑在自由面条件线性化、物面条件在瞬时物面上满足的基础之上的。

大地坐标系下流场中的总速度势记作ΦT，它可写作如下形式：

式中，ΦI为入射波势；Φ为物体的扰动势，包括辐射势和绕射势。因为ΦI是已知的，问题的关键就在于如何求解扰动势Φ。

扰动势Φ满足的初边值问题如下：

其中物面条件是在瞬时物面上满足，V为物面上P点处的瞬时速度。

由于自由面条件仍然是线性的，因而可以应用10.2节中推导出的时域格林函数，具体表达式见式（10.39）。按照格林函数法，扰动势Φ的边界积分方程表达式如下：

式中，S（t）为瞬时物面，Γ（t）为物面与平均湿表面的瞬时交线，V N为Γ（t）的法向速度，N为Γ（t）的单位法向量。

Φ（P，t）可采用分布源法求解，其表达式为(www.xing528.com)

式中，σ为源强，V n为物面S（τ）沿外法线方向的速度，V n=V·n。V N和V n满足关系V N·N=V·n。

利用初边值条件（10.126），可得未知源强的边界积分方程：

一旦源强σ确定，Φ（P，t）就可以通过式（10.131）求出。根据伯努利方程，点（x，y，z）处总的流场压力表达式如下：

其中，物面上P点处Φ对时间的导数为

式中，V（P）为P点处的速度。

速度势梯度Δ Φ可由Φ的数值微分求得，但还有更精确的做法，即直接对式（10.131）求导：