辐射问题的线性时域解：最新研究成果现已发布！

我们已经指出，有入射波存在的一般情况中，场内的速度势可认为是入射波速度势ΦI、绕射速度势ΦD和辐射速度势ΦR的线性叠加（见10.1节）。现在进一步讨论辐射势ΦR的分解。

当利用积分方程（10.26）求解ΦR时，由于在物面边界S 0上ΦR满足的条件是

得到的解ΦR不仅取决于物体的形状，还取决于物体运动的速度或加速度，并与运动的历史情况有关。我们的企图是想把ΦR进一步分解，如以前频域计算那样，找到只依赖于物体形状的规范化辐射势，并建立它们与实际辐射势ΦR的关系。

我们的讨论从积分方程（10.26）出发。设辐射势ΦR可分解成

其中ΦRI（P，t）是初始条件产生的流体运动速度势，它满足积分方程式（10.25），即

ΦRM（P，t）是纯粹由物体运动引起的速度势，它由积分方程：

所决定。事实上，当做上述分解时已经认为ΦR的初始条件完全由ΦRI满足，ΦRM的初始条件均为零；在运动的以后时刻，ΦR的物面条件完全由ΦRM满足，而ΦRI的物面条件则始终为0。下面进一步将ΦRM（P，t）分解，并采用张量表达（下同）：

显然φj（P，t）应是个调和函数。由上式可得

由ΦRM（P，t）须满足的自由面条件，可以要求略满足：

且

式（10.47）为φj须满足的自由面条件，式（10.48）和（10.49）为φj的初始条件：

在物面S 0上，ΦRM应满足

按照式（10.46），上式可写成

如分解ΦR时所约定的（0）≡0，因为它的影响已经包含在ΦRI（P，t）之中。令

则

和(www.xing528.com)

上述ΦR的物面条件得到满足。

φj（P，t）应满足与ΦR（P，t）相同的无限深处底部条件和无限远处辐射条件，这是很显然的。

这样，势φj（P，t）的定解条件在数学上完全与10.1节中建立的关于ΦR的定解条件相同，因此，它的解也可由积分（10.26）给出。考虑到条件式（10.48）～式（10.52），关于φj（P，t）积分方程为

由式（10.53）不难看出，φj（P，t）与物体运动速度或加速度无关，只要物体形状S 0给定，对任一运动模态，n j是确定的，按式（10.53）即可计算相应的速度势φj（P，t）。φj（P，t）可视为时域中的规范化速度势。

将式（10.46）分部积分，并注意到（0）=0，则ΦRM可表示成

若引入符号

不难验证，ψj（P）就是卡明斯引进的物体以单位速度作脉冲运动时的流体速度势［173］，它满足：

而χj（P，t）即为卡明斯的余波函数，它满足：

注意到φj的自由面条件（10.47），令t=τ，即

以上就是卡明斯引入的函数ψj和χj应满足的主要条件。

因为ψj（P）是物体作单位速度脉冲运动引起的流动响应，故自由面条件是ψj=0；又因为物面条件是在平均物面S 0上满足的，故n j与时间无关，从而ψj（P）也与时间无关，对给定的物体可一劳永逸地解出ψj（P）。在式（10.53）中若令τ=0，就得φj（P，0）=ψj（P）的积分方程。其解可表达为

注意到G=1／r-1／r 1，这时积分方程的解就相当于下半平面的物体及其在上半平面的虚像共同造成的流体运动。它在静水面上引起自由面的起伏，在重力作用下，这一自由面的起伏位移作为χj的初始条件（10.57），在后续时刻在自由面上形成波浪运动，并向四周散播。物体不断的连续运动相当于一连串的脉冲运动，在自由面上不断地造成新的波浪，这些流体运动的叠加就构成了解：

根据时域格林函数的性质、物面边界条件和初始条件，无航速情况下函数χj（P，τ）的积分方程可写成

事实上，χj（P，t-τ）及其在式（10.59）中的时间积分项体现了自由表面的记忆效应，即前一时刻物体运动（视作一脉冲运动）对后续时刻流体运动有影响。这一记忆效应是物体在有自由面的流场中运动时所特有的。

由初始条件引起的速度势ΦRI不能再作分解，它的物理意义可这样来理解：在初始时刻，若自由面有初始位移或作用有一初始冲量，或者物体有一初始速度。则在以后的时历中，在流场中产生波浪，这一波浪运动同样会在物面上散射而引起绕射波。若物体又复停止（这是ΦRI的前提），则这一波浪与其绕射波产生的势满足物面不可渗透条件，这已在前文讨论过。初始条件为零，则ΦRI也将消失。