由上一节的推导可知,当船体作任意形式的微幅运动时,流场中的速度势亦可用格林函数法求解,若选择满足一定条件的格林函数,则最终可得出如式(10.26)那样的积分方程,从而确定物面上的速度势。这时,未知函数Φ(Q,τ)仅出现于物面上,如将其看作是格林函数法向导数的强度分布密度的话,根据这一格林函数法向导数在物面上的分布即可确定场内速度势,而无须像式(10.13)那样在自由面上也分布格林函数。
取直角坐标系,xoy平面与静水面重合,z轴垂直向上,水深无限,τ为时间,点源Q对t时刻场点P(x,y,z)影响,则格林函数G(P,t;Q,τ)应满足下述条件,即
初始条件为
设强度为m(τ)的点源Q沿轨迹[ξ(τ),η(τ),ζ(τ)]运动,其中ζ(τ)<0。首先从G中分出奇异部分,即
式中,函数B在z<0处无奇点,分出吃水的影响,将B写成如下形式:
由线性自由面条件得
参照第5章附录,则
代入式(10.34),得到b应满足的微分方程,即
这是关于时间τ的二阶微分方程,它满足初始条件(10.31),其解可表示为
故得无限水深情况下的时域格林函数为
如果点源的位置是固定的,恒在点Q处,并且点源的强度为δ(t-τ)即脉冲源,可得这种情况下的时域格林函数为(www.xing528.com)
在本章以后各节中把上式改写为
其中:
式(10.38)右端第一项表示瞬时效应,第二项表示波效应即记忆效应。时刻τ的脉冲源对于时刻t流场的影响只依赖于时间差Δt=t-τ,而与起始时刻无关。所以时域格林函数为源点、场点和时间间隔的函数,故其有时也表示为
且有。该格林函数满足以下条件:
若从τ时刻开始,源强m(τ)=1,点源的位置仍是固定的,则相应的格林函数:
除了上述三维无限水深的时域格林函数之外,芬克斯坦(Finkektein)还给出了包括二维、三维、有限和无限水深的时域格林函数[65]。三维有限水深的时域格林函数为
式中,h为水深,。上式右端前两项表示瞬时效应,它满足拉普拉斯方程和底部条件,并且在z=0上等于零,右端最后一项表示记忆项。
二维无限水深的时域格林函数:
二维有限水深的时域格林函数:
式(104.0)和(104.1)中,h为水深,
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