船舶运动理论：不规则波表达效果

实际海浪是一种非常复杂的随机过程，波面位移在一定程度上是偏离正态分布的，存在非线性效应。幸运的是，船舶运动研究表明，将海浪视作为线性模型所得到的结论与试验的结果是相符的，因此，可以认为采用线性模型研究船舶运动是可行的。前人在随机海浪的研究中提出了多种线性模型，例如Pierson模型、Longuet-Higgins模型、Fourier-Stieltjes模型以及广义Fourier变换得到的积分模型等。在这些模型中以Longuet-Higgins模型在工程应用最为广泛。

Longuet-Higgins［172］将固定点海浪波面位移表示为如下的随机过程：

其中εi为在0～2π之间均匀分布的随机相位。容易证明上式所示随机过程ζ（t）的均值为零，且其自相关函数仅依赖于时间间隔，因此是一平稳随机过程。Longuet-Higgins模型中组成波的振幅ζai不是利用谱直接给出的，但是与谱之间存在如下关系：

相应地，有

或

以上两式右侧的求和符号表示对介于ω和ω+Δω范围内的组合波求和。

式（9.1）和式（9.4）既给出了随机海浪模型最简单的形式，又将谱S（ω）与组成波振幅a i的关系以单独的表达式更明确地表示出来，在理论研究和实际应用上更为方便，因此应用广泛。

Longuet-Higgins模型的三维形式为(www.xing528.com)

或

式中，x为位置向量，即

k为向量波数k的模，即

式（9.5）和式（9.6）所代表的波面位移是三维平稳均匀正态随机过程。其谱S（k，ω）为三维谱，但借助于式（9.8）和色散关系可化为方向谱S（ω，θ）。方向谱与组成波振幅ζai的关系为

式中，右侧的双重求和符号表示对频率介于ω至ω+δω和方向介于θ至θ+δθ范围内的组成波求和。容易证明式（9.5）所示波面位移的均值为0，其方差为

则波面位移：

利用色散关系还可以将S（ω，θ）转换为以k和θ为变量的方向谱，这里不作介绍，有兴趣的读者可自行推导。