二维辐射势的求解成果

根据切片理论，无论是船体附加质量和阻尼系数的求取或者是波浪干扰力的确定，最终都归结为二维辐射势（j=2，3，4）的求解。由8.2节的论述可知（x；y，z）应满足的定解条件是

其中k为振荡波数，k=ω2／g。为简化计算，上面的表达式中略去了上标2D，且x只是个参数，也予略去。

上述定解条件即一个二维柱体在无限水深流场的自由面上，作单位速度的周期性振荡时空间速度势的定解条件，这时振荡圆频率为ω，流场中速度势的完整表达应为

如图8.4所示，因现在已认为柱体是二维的，它只能在三个方向产生运动，即沿oy轴的横荡，沿oz轴的垂荡和绕o点（即ox轴）的横摇，与8.1～8.2节一样，分别用下标j=2，3，4来表示。

上述定解问题可有多种求解方法，如基于保角变换的多极展开法［130］和格林函数法。后者将在本节中讨论。

求解上述定解问题的二维格林函数法最早在1967年由弗兰克（Frank）［17］首先提出，现常

图8.4　二维振荡问题中的流体域

被人称作密切拟合法（close-fit method）。其主要思想与三维问题一样，即采用格林函数：

使之满足一些条件，使得场内某点P的速度势可用剖面周线上的二维格林函数（或称修正的源汇）的分布表示出来。二维修正源汇［式（8.28）］中P（y，z）为场点，Q（η，ζ）为源点，r=是场点与源点的距离，G*（P，Q）为域内的某一调和函数。

事实上，由格林公式的二维形式可知，图8.4中由物面C 0、自由面S F、底面S B和左右远离物体的两侧面S±∞所围的二维流场内，任一点P的速度势可记为

式中，指边界上的法向偏导，N大写以区别三维的法向偏导，C=C 0+S F+S B+S±∞，即上式右端的积分可分成相应面上的四项积分项。现分别对这四项积分进行讨论。

（1）在底面S B上，z→-∞，这时按底部条件有，如果有，则底面S B上的积分消失。

（2）在左右两侧的辐射面S±∞上有辐射波外传。由辐射条件可知，当y→±∞时，φ～A（±）e±iky。因此，以y→+∞为例，有

若要求格林函数G满足辐射条件则辐射面S±∞上的积分也将消失。

（3）在自由面S F上，因φ满足的自由面条件［F］，积分变为

所以，如果G与φ满足同样的自由面条件，则自由面S F上的积分也不会出现。

综上所述，只要选择格林函数G=ln r+G*，使之满足：

那么，域内任一点P的速度势就成为

应用2.2.2节所述的开拓的概念，还可将式（8.30）记为

其中σ（Q）可定义为源强。上面二式对任一运动模态的速度势φj均适用（j=2，3，4），当然，对不同的运动模态，有各自不同的源强分布。源强密度σ（Q）须按不同运动模态的边界条件来确定。

满足定解条件式（8.29）的格林函数可以写成［14，15］

其中k=ω2／g，（y，z）为场点P的坐标，（η，ζ）为源点Q的坐标，r=［（y-η）2+（z-，P.V.表示取积分的主值。关于式（8.32）的证明可参见文献［163］的第6章附录。

由上式易见，r 1实际上为Q点对静水面的映像到P点的距离，因此，可以认为现在的开拓不仅是向内域开拓，而且也开拓到上半平面。

式（8.31）中源强密度σ（Q）的求法与前述三维问题的求解相类似：只是目前考察的是二维问题，物面的近似不是利用面元而是利用线元，求解比三维问题要简单得多。

应用物面条件，对不同的摇荡模式j有

上式即为决定物面上源强分布密度的积分方程，对不同的摇荡模式有各自的源强分布密度σ（Q）。

积分方程式（8.33）也可离散化求解。如图8.5所示，将物面周线C 0分成N段，每段用直线段代替原曲线段。在每一段上，设源强分布密度为常数，同时假定在每一线段的中点上满足物面条件。这样，积分方程式（8.33）即演化为下述线性代数方程组：

图8.5　剖面周线的离散(www.xing528.com)

式中，j指运动模态；P n为选来满足物面条件的第n个线元的中点；Qi为ΔCi上的点。

由这组方程组可解出相应于某一运动模态j的源强分布密度σj，从而确定物体表面的速度势φj，它可由式（8.31）计算。这时物面上的动压力可记为

作用于物体的水动作用力为

式中，N i为物面周线上法线单位矢量在i方向的投影或分量，下标j如前所述表征运动模态，即运动发生的方向，所以上式也包括了运动的耦合影响。应该注意的是f ij是流体动力的复数振幅，它不仅反映了物体运动引起的流体力幅值大小，也反映了流体力与运动的相位差异，则物体上流体作用力的完整表达为

并约定取其实部。与三维情况一样，可以认为F ij中一部分与运动的加速度成比例，一部分与运动速度成比例，即一部分为惯性力部分，一部分为阻尼力部分。记F ij为

注意：上式不在约定求和法则意义上理解。现因振荡速度U j=1·e-iωt，故，代入上式，并注意到F ij的完整表达式，可以得到

式中，μij和λij分别定义为剖面（或称二维柱体）的附加质量和阻尼系数，即8.1节中述及的和。利用格林公式容易证明它们对下标是对称的，即。这与三维无航速辐射问题相似，读者可仿效自证之。

由于绝大部分船舶剖面是对称的，应用对称性条件，计算工作量可大为减少，实际计算表明，主要的计算工作量花费在格林函数中奇异积分的处理上。

自从1948年厄塞尔发表第一篇半潜圆柱体垂荡的文章［9］以来，已经有了不少计算不同形状二维柱体的附加质量和阻尼系数的结果，相比较而言，试验结果倒差不甚多。图8.6选自文献［9］，它显示了按格林函数法计算的结果与试验结果的比较。

由图8.6可见，当无因次振荡频率（其中B为剖面宽度，见图8.6）趋于零时，垂荡的附加质量趋于无穷大，横荡附加质量则趋于有限值；当趋于无穷大时，μ22和μ33皆趋于定值μ22（∞）和μ33（∞）；在两个极限状况之间垂荡的附加质量有极小值，横荡的附加质量有极大值。就阻尼系数而言，λ22（0），λ33（0）和λ22（∞），λ33（∞）皆趋于零，其间有极大值；一般，垂荡阻尼系数的极大值出现时的频率比横荡阻尼系数极大值出现时频率低，从与试验结果比较来看，高频端吻合较好，低频端差别比较大。但从垂荡运动而言，低频时静恢复力起主要作用，故附加质量和阻尼系数的误差实际上对运动计算影响甚微。横摇附加质量及阻尼系数中计算与试验差别比较大，其中很可能在试验中有非线性影响和黏性影响。另外值得注意的是在横摇与横荡的耦合项μ34或λ34中，尽管从理论上可证明它们关于下标是对称的，但试验结果却显示出横荡对横摇及横摇对横荡的耦合差异。但总起来说，计算结果与试验数据吻合程度还是令人满意的。

图8.6　横荡、垂荡、横摇附加质量和阻尼系数

关于二维柱体流体动力系数的一些计算实例（尤其是具有船形剖面的）还可参阅文献［164］。

图8.7　不规则频率存在的计算例（圆柱剖面）

用上述源汇分布法计算二维柱体流体动力系数时出现一个特殊现象，那就是在某些离散的频率上，计算失效，不能得出可靠的解，在这些特殊频率的附近狭窄的频带范围内，计算精度亦受到严重的影响。弗兰克把这些特殊的频率称作不规则频率（irregular frequency）。自此以后不规则频率一词就成为表征上述特殊现象的专用术语。图8.7［165］中虚线即为不规则频率存在的一个计算实例。深入研究表明，这一现象是由于流场向物体内部开拓所引起的。事实上，按5.5节，由外域格林第三公式有

其中上标（e）指物体周线C 0之外的流场。对内域φ（i）也有类似的结果，显然内外解互不影响，类似于物面有“屏蔽”效应。但是在构成单层势（源分布）时，令在周线C 0上有

这样内域解对外域解就有影响。

可以证明［166］，在某些特征频率（即不规则频率）时，存在着这样的内场调和函数ψ（i），其满足：

在这种情况下，φ（i）+Cψ（i）都是内部解，其中C为任意常数，这就是说，内部解不是唯一的；从而源强分布密度σ也将不是唯一的。更有甚者，在边界上会趋于无穷大［167］。于是在这些频率上解不复存在。从物理意义解释，因流场开拓，相当于物体内有流体存在，且有自由表面；众所周知，一个有限容积容器中有自由面的流体存在着自振频率，若外界扰动与自振频率相近，就会出现共振现象，这时流体振幅趋于无限。这是不规则频率的一种物理解释。

一般情况下，最低的不规则频率还是高于船舶和海洋工程中感兴趣的实用波浪频率，故不规则频率的存在，通常并不严重地影响上述方法的实用意义。但在有些情况下，如后述利用频域结果推算时域方程系数时，由于不规则频率的存在，会对实际计算带来困难，于是就产生种种方法试图来解决这一困难。其中最简便的办法就是跳过这一频率，然后采用邻近频率的计算结果进行光顺，针对某些简单的剖面形状，不规则频率可由理论分析得到［13］。另一种办法是设想剖面上端与静水面交线处是封闭的，即加一盖子，抑制内域流体的共振。如为了消除不规则频率的影响，可以增加两个条件方程组（流体域外的原点O处速度势为0，并假定其偏导数也为0）：

离散后，方程数比未知数多2个，最后可以利用最小二乘法进行求解。计算表明，这一方法得出的结果是令人满意的。文献［167］在原点处引进一修正的格林函数（脉动源）也是个有效的办法。

对二维问题，在x=±∞无穷远处有外传平面波：

其中A（±）分别为y=±∞处的波幅。速度势的远方渐近形式为

波幅可与二维科钦函数联系起来［168］，即

其中H（±）为二维科钦函数，它可由三维科钦函数H（θ），令θ=0或θ=π得到，即

当水深k H→∞时，只需令以上表达式中即可。