船舶波浪上的自由面摄动展开

如本章开篇所述，由于自由面边界条件的非线性性质，使得船舶运动的速度势的定解问题本质上是非线性问题。当以正则摄动法处理这一问题时，首先就必须将自由面条件作摄动展开。

在空间固定坐标系中，以正则摄动法处理自由面条件和压力，这种情况已在2.3中作为摄动方法应用的范例说明过，适用于浮体或无航速船舶问题。下面讨论船舶有航速的情况。设船舶以常速U 0沿空间固定坐标系o 0x 0轴的正向移动，同时绕这一平均位置振荡。场内速度势在空间固定坐标系中仍满足自由面条件式（2.20）。现在引入一个与船舶一起以等速U 0移动的坐标系o′x′y′z′（即4.1节中定义的参考坐标系），船体相对于这一坐标系作摇荡运动。如果船体无摇荡，那么它就是船舶作定常前进运动时的动坐标系。这一参考坐标系与空间固定坐标系的坐标变量间有如下关系：

于是场内的速度势可记为

这里引进了一个新的函数，事实上，可以证明即为参考坐标系中表达的流场的绝对速度势，在该坐标系中也满足拉普拉斯方程，且它对参考系坐标变量的梯度给出的是流场中水质点的绝对速度（见本章附录），即

而且

在空间固定坐标系中拉格朗日积分的表达式为

对（x′，y′，z′，t）则变为

自由面条件式（2.20）相应地变为：在自由面z′=（x′，y′，t）上

相应的，自由面方程为

若船体不振荡，则流场中只有定常运动的兴波速度势。在参考坐标系o′x′y′z′中兴波速度势是定常的，与时间无关。若将兴波势记为（x′，y′，z′），它满足的自由面条件根据式（4.27）为

它在定常兴波的自由面z=（x，y）上满足。这里为书写简便，暂时略去x、y、z上的撇号。

按式（4.28），定常兴波的自由面形状为

若船体边移动边摇荡，可将其速度势写成(www.xing528.com)

式中，（x，y，z）是定常运动时的兴波速度势；Φ（x，y，z，t）是速度势中的不定常部分，其中包括物体摇荡所引起的辐射势，若有入射波，还可包括入射波势及船体存在对入射波的干扰。

将上式代入自由面条件式（4.27），得到

它在自由面z=（x，y，t）上满足条件，后者由式（4.28）变成

将式（4.31）的第一行与式（4.29）相比，可见它是船舶定常运动的兴波势满足的自由面条件，只是现在需在上满足，而不是在上满足。若假定不定常的扰动是小量，即为微幅波和微幅运动；不定常势Φ（x，y，z，t）也是小量，设Φ=O（ε），则保留到一阶量时的自由面可化为

右端项的量级为O（1），与式（4.30）比较可见，该项 大致上就是定常兴波的自由面ζ；余下的项的量级为O（ε），故与之差在上述假定下是小量。将整个右端在处展开，保留到一阶量，有

从上式中求解出，在不定常运动是小量的前提下，得到自由面方程：

式中，第一项是定常兴波的波面，第二项是叠加在上的不定常运动诱导的波面位移ζ（x，y，t），即

既然与之差是小量，同样可将式（4.31）在附近展开，略去ε的二阶量并应用定常势的自由面条件（4.35），可得到不定常速度势的一阶自由面条件：

上式中Φ（x，y，z，t）及其导数的二次项以上的项已被略去。这个自由面条件对Φ而言是线性的，但相当复杂，以这一条件组成的Φ的定解问题仍很难求解，且如何决定非线性的定常兴波势还是个悬而未决的问题。目前，通常采用的进一步假定是定常兴波势也是小量。这隐含着要求物体或者细长（包括窄或扁平），或者潜得深，或者前进速度是低速的。在这一假定下，

而

其中应用了=O（ε）的假定，Φ或的导数都在z=0附近展开，然后略去二阶小量。在对应的自由面条件z=0上满足：