船舶运动流体动力问题解析

关于船舶在波浪上摇荡问题的研究，最困难的问题之一是船舶运动时所遭受的流体作用力的确定。一旦流体作用力已知，船舶作为一个刚体在确定的外力作用下运动的问题就比较容易解决。前一个问题属于流体动力学的范畴，后者则与刚体动力学相联系。事实上，船舶运动决定了它受流体作用力的大小；反过来，受力又影响了船舶的运动。因此，上述两类问题是互相耦合的，原则上讲，船舶受力和运动要同时求解。

第2章中已经阐明，船舶在波浪上运动的流体动力问题可合理地在势流理论的基础上求解。流场中（包括船体表面上）任意一点的流体动压力可通过拉格朗日积分式（2.8）确定，从而可求得船体受到的流体作用力。然而，在拉格朗日积分式中含有∂φ／∂t项，它表征流场中速度势对时间的变化率。在船体运动未确定时，它是未知的。可以说，∂φ／∂t项的存在一定程度上体现了流体动力问题与刚体运动问题的耦合作用。如果事先规定或者可以确定船体运动的时间变化规律，则一般的∂φ／∂t不再会引起任何困难。研究船舶在规则波中的稳态运动时，船舶运动规律或船体运动规律往往是可以预先规定的。此外，物面条件式（2.12）中也体现了流体运动与船体运动的耦合，但只要运动规律已知，实际上这两种运动还是可分的。这一点在后续章节的叙述中将更清楚地显示出来。

因此，下面的讨论将主要致力于流体动力问题的阐述。第7章将会给出船舶运动方程的建立和求解，第10章讨论运动的时域计算时亦将对时域运动方程略加讨论，但不管怎样，只要流体动力问题解决了，船体运动的确定一般不会有什么困难。

作为船舶在波浪上运动的流体动力问题，关键是求解流场中的速度势。设流场中总的速度势为φ（x 0，y 0，z 0；t），它包括入射波的贡献、物体存在和运动对流场扰动的贡献以及它们之间的耦合影响。x 0、y 0、z 0指空间固定坐标系o 0x 0y 0z 0中的坐标变量，坐标平面o 0x 0y 0与静水面重合，o 0z 0轴垂直向上。根据第一章的讨论，流场中的速度势φ（x 0，y 0，z 0；t）应满足拉普拉斯方程：

在自由面z 0=ζ（x 0，y 0，t）上应满足边界条件，即

在物面S上有固壁条件，即

式中，U为船体表面的运动速度，n为表面上单位内法线矢量。

当水深是无限的，在无限深处速度势应满足(www.xing528.com)

若水深有限且均匀，深度为H，则在水底有条件

当水域在水平方向是无限延展的，还需要有无限远方的辐射条件。它的一般叙述是扰动速度势（不包括入射波）在无限远处应代表从船体向外传播的辐射波。至于规则入射波，它的无限远方条件是容易规定的，譬如，我们考虑一列平面入射波与o 0x 0轴成某一夹角从无限远方传来等。

式（4.1）～（4.5），再加上无限远方的辐射条件，就构成了船舶在波浪中运动的流体动力问题的一般提法。很明显，式（4.2）的自由面边界条件是非线性的，因此整个速度势的定解问题实质上是个非线性问题，而且，自由面形状和位置本身也是未知的，这给速度势的求解造成了极大的困难，即便用数值法求解，也需要对辐射条件做出正确的数学描述。

克服这一困难的途径之一是应用第2章的摄动理论（perturbation theory），把这一非线性定解问题的解设成小参数ε的幂级数，从而使非线性定解问题展开成为不同的ε阶次的一系列线性定解问题。在耐波性领域中，广泛使用的是正则摄动法（regular perturbation method），即ε越小，根据摄动法求得的近似解越精确，且这一近似解在流场中均适用。若非如此，或者解不能展开成ε的幂级数，则需用奇异摄动法（singular perturbation method）。

对于船舶在波浪上运动的问题，我们一般可以取入射波的波陡ε为小参数，即ε=A／λ，其中A为入射波波幅，λ为波长。这就是所谓的微幅波假定。因为入射波波幅是小量，于是可以认为船舶摇荡也是相对于平衡位置的小振幅振荡运动。事实上，正则摄动的做法中无须显式地定义ε，而只把ε视为一个表征阶次的符号。

对于目前要讨论的定解问题，主要是非线性自由面条件和物面条件的摄动展开，其他如拉普拉斯方程、池底条件等的展开是显而易见的。这些问题将在本章第4.4节中讨论。

在本章前1、2节中，还将建立线性化定解问题（即摄动展开后的一阶定解问题），并讨论在线性化前提下场内速度势的分解。