船舶波浪上的摄动理论研究

在流体力学领域中经常会遇到含有小参数ε的微分方程定解问题Pε，小参数可以包含在方程或定解条件中，通常称这一类含小参数ε的数学问题为摄动问题。摄动理论研究的正是这类摄动问题的解法（渐近展开法）、解的性质及与其相应的退化问题P 0的关系，考察Pε的解能否通过对P 0的解加以校正得到。从物理意义上说，即认为所研究的物理现象是在某个基本状态上的小扰动，而这一基本状态则可以没有特殊困难地加以描述。显然，小参数ε可视为小物理量的度量。

关于摄动问题，还可根据渐近展开式的形式和ε→0时的收敛性，将摄动问题分成正则摄动问题（regular problem）和奇异摄动问题（singular problem）。

如果摄动问题Pε（x）的解uε（x）能够用一个ε的幂级数表示为

并且在区域Ω中一致有效，即对于任意的点x∈Ω，上式的N项截断式及其余项Z N（x，ε）对任意的正整数N都成立

则称Pε（x）区域Ω中的正则摄动问题，否则称为奇异摄动问题。

摄动问题的求解要点是把解作某种渐近展开，代入方程和定解条件中去，然后进行量级的比较，从而把一个困难的问题分解为一系列相对简单的问题。如果通过前面很少几步就能把解的主要性质揭示出来，则摄动理论就特别有效。以下将以自由面边界条件和压力为例具体说明。

在空间固定坐标系oxyz中，速度势记为φ（x，y，z，t），它满足的自由面条件为式（2.20），即在自由面z=ζ（x，y，t）上有

按照摄动理论，可认为φ=φ（x，y，z，t；ε），其中ε为一小参数，在目前的问题中，它可被认为是微幅波的一个度量。如前所述，在此我们无须对ε做出显式的定义，而只用它来表征相关项的阶次。设φ可展开成ε的幂级数，即

则φ（j）叫作第j阶近似。幂级数式（2.50）是在ε=0附近展开的，ε越小，这种近似解变得越精确。类似地，自由面位移ζ=ζ（x，y，t；ε）也应展开成ε的幂级数：(www.xing528.com)

将级数式（2.50）和（2.51）代入式（2.20）和式（2.19），注意到其中所有的项都是在ζ=ζ（x，y，t；ε）=εζ（1）+ε2ζ（2）+…上取值，如

然后令ε幂次相同的项相等，很容易推导出

和

一阶自由面条件式（2.52）的第一式是线性齐次的，而且是在已知的边界z=0（即未扰静水面）上满足；二阶自由面条件（2.53）的第一式是线性非齐次的，也在静水面上满足。至于波面形状，一阶量由式（2.52）的第二式给出，二阶量由式（2.53）的第二式给出。由此可见，原先自由面条件的非线性和自由面位置的不确定所造成的困难经摄动处理后都已解决，条件是ε足够小。

与一阶速度势的自由面条件相比，二阶速度势的自由面条件式（2.53）的第一式是非齐次的。其右端项全由一阶速度势的导数的乘积所组成，在物理上，右端项相当于自由表面上有压力作用，这些压力分布来自式（2.20）中不能在一阶量中得到准确满足而剩余下来的二阶量。

类似地，流场中的压力p（x，y，z，t）也可展开成：

将式（2.54）和式（2.50）一起代入拉格朗日积分式（2.8），即

式中，p（0）为场内压力的零阶项，即流场中的静压力。