波浪上船舶运动理论初步探讨

只有在给定合适的定解条件后，拉普拉斯方程的解才唯一确定。因此，对边界条件和初始条件给出正确的数学描述几乎与求解方程本身同等重要。船舶运动理论中经常遇到的边界条件和初始条件大致有以下这些。

1）固体壁面上的运动学边界条件

船体表面S是不可渗透的固体壁面，构成了流体域边界的一部分。根据物面不可渗透的性质，在S上应满足

式中，指的是物面法线n方向的偏导数。上式左端表示物面S上流体质点的法向速度，右端U n则为物面S上某点运动速度的法向投影。故该式说明，只有当物体表面S上任意点的法向速度等于紧贴该点的流体质点的法向速度，才能保证既没有流体流入物体内部，也没有流体从物体流出。式（2.12）即为固体壁面上的运动学边界条件。

为叙述简洁，有时采用一些张量记法。在表示法中，把直角坐标改写成x 1、x 2、x 3，分别对应于x、y、z。类似地，矢量在各坐标轴上的分量相应地以下标1、2、3表示，如速度矢量v=（v x，v y，v z），可记为v i（i=1，2，3），i为自由下标。在同一项中若有两个自由下标相同，如不特别说明，就表示要对这个下标从1到3求和，例如a ib i=a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3。

设物面方程为F（x i，t）=0，时间t标志着物体可在流场中运动和变形，或两者兼而有之。物面上任意点的单位法线矢量表达式为

式中，±号分别表示物面的内法线和外法线方向。以后，若没有特别说明，均取正值，即取物面的内法线方向，对流体域而言则为外法线方向。于是

再考察U n，物面F（x i，t）=0运动时，在d t时间后，物面方程变为

显然

将上式和式（2.14）代入式（2.12），有

式中，D／D t表示实质导数，表征流场中某物理量在运动过程中对时间的变化率。式（2.15）说明流体质点一旦在物体表面上，将永远留在那里。

特殊地，对固定的物面显然有

2）自由表面上的边界条件

（1）自由面的运动学边界条件。

设自由面方程为F=ζ（x，y，z）-z=0，其中ζ为自由面的位移。与固壁上的运动学条件类似，由式（2.15）得到自由面的运动学边界条件如下：

（2）自由面上的动力学边界条件。

设自由面上方是大气。严格地说，自由面上的任何扰动均会引起大气的运动。但与水相比，大气的密度相当小，所以因自由面运动而引起的大气压力变化是可以忽略的。大气压力可近似地认为是其未扰值，亦即压力可取为常值p a。由拉格朗日积分式（2.8）可知，在自由面z=ζ（x，y，t）上有

式中，p为水的压力；C（t）为时间t的任意函数，它被分解成一个常数与另一个任意的时间函数C 1（t）之和，特殊地，此常数取为p a／ρ。若C 1（t）吸收在φ中，上式可重写为：在z=ζ（x，y，t）上，有

如不计自由表面的表面张力，上式左端应等于零，即

应当指出，通常对拉普拉斯方程来说，同一边界段上只需给出一个边界条件即可，但这是对边界已知的情况而言的。在自由面上，上述两个边界条件均需给出，因为在自由表面位置（即流域边界）本身及自由表面上的速度势都需要确定。此类情况可称为双重边界条件。一般来说，对运动边界问题或自由边界问题都需要给出双重边界条件。

由式（2.17）和（2.19）消去ζ，可得φ在自由面z=ζ（x，y，t）上必须满足的统一的自由面条件为

显然，这一自由面条件是非线性的。因此，尽管拉普拉斯方程本身是线性的，但由于自由面条件的非线性性质，导致有自由面存在时的流体动力学问题本质上是个非线性问题，其求解变得相当困难。当然，它所反映的物理现象也相当复杂和有趣。

为使问题简化，常将自由面条件线性化。实质上，线性化属于摄动理论中的一阶近似，我们将于后面章节中在比较严格的意义上加以阐述。这里的线性化手段将比较直观和粗略。

设自由面的变形相对微小（微幅波假定），即ζ≪λ（某特征长度），且v i≪U（某特征速度），那么∂φ／∂x、∂φ／∂y、∂ζ／∂x、∂ζ／∂y的乘积项或各自的平方项都属高一阶的小量，可以略去不计；自由面条件可近似地认为在z=0上（即未扰动的静水面上）得到满足。这时自由面条件（2.17）和（2.19）分别变成：

运动学边界条件

动力学边界条件(www.xing528.com)

从式（2.21）和式（2.22）中消去ζ，就有统一的线性化自由面条件，即

由上面几个关系式可知，一旦速度势φ已知，则自由面位移ζ及其运动速度都可由式（2.21）和（2.22）求取。

容易看到，自由面的运动学边界条件中含有ζ对t的导数，因此尽管拉普拉斯方程中不显含时间t，但由于边界条件的时间相关，问题的性质还是与运动历史有关，说明规定初始条件的必要性。

自由面条件线性化以后，如果流场中其他一些边界条件也是线性的，则整个流体动力系统就是个线性系统。对一个稳定的频率为ω的振荡输入，线性系统在受扰动后足够长的时间之后达到稳态，其稳态响应或稳态解可记为

式中，ω为振荡圆频率。如果认为φ是速度势的话，则φ为速度势中的时间独立部分，也称作为空间速度势（spatial velocity potential），因为φ只与空间变量（x，y，z）有关。将上式代入式（2.23），得到空间速度势应满足的条件为

振荡达到稳态后，初始扰动的形式已经没有影响，这时问题又与初始条件无关。事实上，如果认为问题的起始时刻，系统已经进入稳态振荡的话，则“稳态”也可认为是某种形式的初始条件。

总之，在有自由表面时，流体动力问题将比无限流场中要复杂得多，同时也出现了许多有趣的现象。如何在存在自由面的情况下，正确和有效地处理流体动力问题，是船舶和海洋工程中常见和最感兴趣的问题之一。

3）无限远处的边界条件

在处理外域问题时，除了上述边界条件外，还须给出无限远处的边界条件，只有这样，边界才被认为是封闭的。这个条件通常亦称为辐射条件（radiation condition）或索莫非（Sommerfeld）条件。通常要给出扰动速度势在无限远处应满足的条件，至于未扰动速度势，如来流速度势、来波速度势等，在实际问题中一般较容易确定。

无限流场中，若某处受到局部扰动，则离扰动越远，扰动影响越小。显然，辐射条件可记为

式中，R为流场中某点离扰动源的距离。

有自由表面存在时，问题的性质与无限流场的情况有很大差别。这时，流场某处有扰动，在自由面上就会形成波动。如自由面在水平方向是无限伸展的，则波动向外传播以至无限远方，因此辐射条件必须反映这一客观现实。

对于非线性波浪与物体相互作用的问题，辐射条件比较容易确定。这一有限范围的扰动可以由有限尺度的物体运动或自由面上有限范围的压力脉动所引起。从能量守恒的观念来看，在二维问题中，扰动引起的平面波在向左右两边的传播中，波幅保持不变；在三维问题中，外传柱面波的波幅在无限远处以的速率衰减，其中R为无限远处某点离扰动的水平距离。用数学语言描述，则：

对于二维问题，

式中，已取水平方向为x轴方向。上式中两个一阶偏微分方程分别有通解f（x-Ct）和g（x+Ct），代表平面右传波和左传波，波速为C，波形恒定。

对于三维问题，

上式的一阶偏微分方程的解，代表外传柱面波，波速以的速率衰减。

若水深是无限的，则除了上述辐射条件外，还应有无限深处条件，因为上两式只给出水平方向的无限远方条件。

显然，局部扰动的影响随深度的增加而减弱，故无限深处条件可记作

需要指出的是，在有些问题中（即使是线性的），辐射条件不那么明显和易定，所以，辐射条件的正确描述常常是解决实际问题的关键之一。

4）初始条件

在不定常力学问题中，只有当时间t=0时的初始条件给定后，某个特定的运动才确定。初始条件规定了系统中所有质点的初始位置和速度。对于拉普拉斯方程，只需给出边界条件上的初始条件即可。因为在每一瞬时，边界条件一经确定，场内各点的相应物理量也就确定了。

关于有自由面的流体动力学问题，因出现速度势φ（x i，t）对时间t的二阶偏导，故一般需要给出其初始状态，如

式中，f和g为任意的给定函数，描述自由面上的初始冲量和初始自由面变形。

有时，也直接给出自由面的初始变形和初始垂向速度，即如有运动物体或其他运动边界，也需要根据实际情况，给出边界上的初始条件。