船舶理论：均匀无旋运动和波浪的影响

在波浪与船体相互作用的研究中，流体介质（水）在绝大部分情况下都可认为是均匀、不可压缩和无黏性的理想流体。事实上，当我们研究船舶在波浪上的运动时，认为船的特征尺度L与波长λ是属于同一量级的，即L／λ=O（1）；而且波幅A远小于特征尺度L，即A／L≤1。这时，黏性影响和船体曲率剧变处的旋涡分离是次要的或局部的，相对来说，绕射影响较为突出。另外，在有实际工程意义的时空尺度上，水密度的变化和可压缩性的变化通常是微不足道的。因此，均匀、不可压缩和无黏性的理想流体的假定，就成为实际问题的一个合理的简化和近似。对理想流体的流动来说，如果在起始时刻流动是无旋的，则在以后所有的时刻流动都是无旋的。这样，可进而认为船舶所处的流场的流动始终是无旋运动。

在这些前提下，船舶运动的流体动力问题就可以在势流理论的基础上加以处理。正是这些理想化的近似，使得船舶在波浪上的运动理论得以建立和迅速发展。

在均匀、不可压缩理想流体的流场中，基本守恒定律由如下的连续性方程和欧拉（Euler）运动方程表述，即

和

式中，v（x，y，z）为速度矢量，p（x，y，z）为压力，ρ为流体密度，g为重力加速度z为垂向坐标。这里我们已经认为重力是唯一的质量力。

若应用向量关系

则欧拉方程（2.2）可改写为

该式称为兰姆方程（Lamb's equation）。

上述的连续性方程（2.1）和欧拉方程（2.2）是理想流体力学中最基本的控制方程。对均匀、不可压缩的理想流体，由这四个方程式（欧拉方程有三个分量式），原则上可以求出四个未知数，即速度v的三个分量和压力p，方程是自封闭的。但由于欧拉运动方程的非线性性质，求解相当困难。

如果流动是无旋的，则问题在很大程度上得到了简化。无旋运动意味着流场中旋度或涡量Ω为零，即

在基础流体力学教程中已知无旋运动有势，即存在势函数φ（x，y，z，t），且有关系式(www.xing528.com)

将上式直接代入欧拉运动方程可知势函数满足无旋条件（2.4）。式（2.5）把速度v的三个未知分量与一个标量函数φ（x，y，z，t）联系起来，一旦流场中的速度势φ已知，速度v可通过求φ的坐标偏导数得到。很明显，速度势的存在仅与无旋性有关，与流体是否可压缩、流动是否定常无关。

回到连续性方程（2.1）可知，速度势φ（x，y，z，t）必须满足控制方程

这是拉普拉斯（Laplace）方程，它在直角坐标系中的表达式为

将无旋条件（2.4）及速度与速度势的关系式（2.5）代入兰姆方程（2.3）中即得

式中，C（t）为待定的时间t的函数，需根据问题给出的条件来决定。若流动是定常的，上式变为

式中，C为通用常数，在整个流场中处处适用。事实上，式（2.8）右端的C（t）可吸收进φ中去而使右端为零。

综上所述，对于均匀、不可压缩的理想流体的无旋运动，制约流动的基本方程即为拉普拉斯方程（2.6）和拉格朗日积分式（2.8）。前一方程决定流场中速度分布，后一方程决定流场中压力分布。通常在无自由面存在的情况下，这两个方程并不耦合。从而将原来求解欧拉方程与连续性方程的耦合方程组的问题变成拉普拉斯方程的求解问题。容易看出，原先的控制方程（指欧拉方程）是非线性的，而现在的控制方程是线性的拉普拉斯方程。原本求解困难的欧拉方程也化成积分后的形式，虽然其中仍含有非线性项（v·v），但因该式独立于拉普拉斯方程，故从解拉普拉斯方程本身来讲，问题已大大简化。拉普拉斯方程作为椭圆型方程中最简单和最典范的形式，在数学上已有许多详尽的研究，它的求解有许多很好的数学方法。

显然，只要求出场内速度势φ，根据拉格朗日积分式（2.8）或（2.9）就可求得整个流场（包括船体表面）的压力分布，从而确定船舶所受到的流体作用力，建立船舶运动的微分方程。

需要说明，本章中使用x，y，z系指空间固定坐标系中的坐标变量。在有自由表面的船舶运动问题中，通常令空间固定坐标系o 0x 0y 0z 0的o 0z 0轴垂直向上，o 0x 0y 0坐标平面与无扰动时的静水面重合。