船舶波浪上运动理论研究

尽管人们早就意识到船舶在波浪中运动性能的重要性，并在实践中自觉或不自觉的采取某种手段来降低船舶的摇摆（主要是横摇），但在研究船舶性能的各学科分支中，波浪中船舶运动理论的发展是比较晚的。

19世纪中叶，随着蒸汽机船的出现，帆逐渐减小以至取消，原先可用于降低横摇的帆的阻尼不复存在，横摇运动的严重性突出地表现出来。这促使人们力图对横摇运动的机理做出理论解释，以寻求有效的减摇措施。最早见诸文献的应为傅汝德^[1]（Froude，1861）［5］关于横摇运动的研究。此后随着船舶主机功率和船舶航速的增加，纵摇和垂荡运动及其影响也逐渐引起了人们的重视，克雷洛夫（Krylov，1896）［6］曾对此作过研究。

在这些早期研究中，只考虑入射波浪对船体诱导的干扰力，不考虑船体的存在和运动对船体的影响。这部分仅由入射波引起的波浪干扰力现今即被称作傅汝德-克雷洛夫力。傅汝德和克雷洛夫的这些经典研究成为19世纪末到20世纪40年代船舶摇摆运动研究的理论基础。

从20世纪40年代起，人们开始致力于船舶摇荡动力理论的建立，试图通过速度势的线性边值问题的建立和求解，考虑船舶的存在和运动对入射波流场的流体动力影响，从而更加合理地来描述船舶的摇荡运动。其中值得一提的是哈斯金特（Haskind）的研究［78］，其应用格林定理来构造因船体存在和运动引起的扰动速度势，并推导了点源格林函数的表达式。按边界条件的提法，最终得到求解速度势的积分方程，并利用窄船假定进一步解出此方程。哈斯金特的一个主要贡献是首次在线性理论范围内，把流场中的扰动速度势分成绕射速度势和辐射速度势分别求解。前一部分只考虑固定的船体的存在对入射波流场的干扰（波的绕射），后者则考虑以不同运动模式摇荡的船体对静水流场的扰动，两者的线性叠加即为流场中总的速度势。这一分解直到目前仍是处理摇荡问题中线性扰动势的典范处理方法。差不多与此同时，海夫洛克（Havelock）、厄塞尔（Ursell）等人也对速度势边值问题的求解进行了研究。厄塞尔利用多极展开法（multipole expansion method）求得静水中简谐强迫振荡的圆柱体所受的流体作用力［9］。

这些先驱的工作尽管在形式上很优美，但无论是窄船假定或圆柱体，与实际船舶的形状都相去甚远，故而这些方法只能从现象上或定性的方面对船舶摇荡加以描述。对这些理论的进一步发展和改进是20世纪50年代以后的事情。

到20世纪50年代，船舶在波浪上运动的研究在两个方面取得了有意义的突破性进展。第一个进展是频谱分析方法的引入。1953年，圣·丹尼斯和皮尔逊将以往在通信理论中发展起来的处理噪声的理论应用到波浪及船舶摇荡的研究中去，提出了不规则海浪中船舶运动计算的理论方法［1］。根据这一理论，船舶摇荡运动不再被认为是一种确定性过程，而是一种随机过程，其与海浪的随机性或不规则性联系在一起，从而使人们能够在统计意义上从量的角度考察不规则海浪中船舶的摇荡运动。按照随机理论，不规则波中船舶的摇荡响应与规则波中船舶摇荡响应之间存在一个简单的关系式，因此，这一理论的引入不但没有否定到当时建立在规则波假定上的船舶摇荡运动理论，反而赋予它一种新的实际意义，使得规则波中船舶运动的研究不再是学院式的，同时，使进一步完善规则波中船舶运动理论变得更加迫切和重要。在这一背景下，船舶运动理论有了迅速的发展。第二个进展是切片理论（strip theory）在船舶摇荡问题中的应用。1955年，科文-克劳科夫斯基（Korvin-Kroukovsky）应用空气动力学中的细长体概念首次提出了处理摇荡问题的切片理论［10］。这一理论假定船体是细长的，可沿纵向（船长方向）将船体分成若干段，各段上截面形状相同，对各截面来说，流动可近似认为是二维的；按二维流动求得各横截面遭受的流体作用力后，沿长度方向积分即可求得船体上总的流体作用力。辅以若干物理直观的考虑，理论中还考虑了前进速度的影响。1957年科文-克劳科夫斯基和雅可布斯（Korvin-Kroukovsky and Jacobs）［11］对该理论做了进一步的修正，并与实验结果进行广泛的比较。事实上，切片理论在船舶流体力学研究中的提出还要更早些，刘易斯（Lewis）在1929年就率先用切片的概念来研究船体结构高频振动时水动力影响问题［12］，并提出了以宽度、吃水、剖面积等简单的剖面参数定义的剖面系列（刘易斯剖面），然而切片理论在船舶摇荡问题中的应用和真正引起普遍的重视和兴趣则始于科文-克劳科夫斯基的工作。

1）切片理论与高速细长体理论

由于当时切片法更多地建筑在物理直观的基础上，缺乏系统和合理的推导，因此理论研究者对切片理论价值的认识过程是缓慢的。尽管如此，由于切片理论的计算相对简便和与实验结果的吻合程度较高（特别对迎浪中船舶的纵摇和垂荡），为工程实际问题的研究和解决提供了现实的手段，故而该理论受到船舶工程师们的认可和欢迎。这以后，有许多研究者对切片理论的实验验证进一步做了大量的工作。同时切片理论本身亦得到了迅速的发展和改进，这些发展大致表现在三个方面：一是切片法赖以建立的理论基础的合理化和严密化［13］，由于基础假定的某些差异，出现了多种切片方法，如新切片法［14］、合理切片法［15］、STF^[2]法［16］等。二是二维剖面流体动力计算的发展，多参数保角变换法［4］和密切拟合法（close-fit method）［17］的出现，使得可以在线性的势流理论基础上严格地求解船形剖面的流体作用力，无须以近似的剖面（如刘易斯剖面）来代替真正的船形剖面。三是切片理论在斜浪中船舶运动计算中的推广，这时不仅船舶有纵摇、垂荡等纵向运动，还有横摇、横荡、艏摇等方向运动。根据切片理论还能计算船体某一横剖面处所受的剪力和弯矩。此外，Meyerhoff和Schlachter［18］、Fujino和Yoon［19］、Guedes Soares［20］、Chen和Shen［21］和Petersen［22］等学者对时域切片法进行了大量的研究；Jensen和Pedersen［23］、Hachmann［24］、钱昆和王言英［25］、Adeegest［26］等学者对切片理论进行了非线性推广。切片理论是一个短波理论，一般适合的计算工况为：船体航行速度低，运动振荡频率高。即使有各种计算方法可供选择，对于有航速的船舶，约80%与设计相关的计算仍然是应用切片理论。切片理论的优点是：快速、可靠、适用于广泛的船型。对于常规、中速船舶，切片理论很难被取代。然而，对于高速舰船和严重非直壁式船型，预测的波浪载荷或者极限运动与试验相比差别较大。目前有不少经过考证的切片理论计算机程序和商用软件系统可供利用，特别是有很多基于STF法的商用船舶水动力计算软件，如：挪威船级社（DNV）的Waveship和澳大利亚Formation Design Systems公司的Maxsurf等。

为了拓宽切片法的适用范围，克服STF法高频低速的限制，学者们进一步提出了高速细长体理论，又称为二维半理论。该理论最早于1975年由Chapman［27］率先提出，而后Faltinsen等［2829］将其应用到高速细长体船舶的水动力问题的求解中。国内不少学者，如Wang［30］、马兴磊［31］、段文洋［3233］、马山［34］等都对二维半理论进行了研究。

2）三维频域理论

切片理论之所以在20世纪50年代以后迅速发展，主要是因为该方法提供了一种具有一定精度并与当时的计算工具相适应的经济实用的手段，迎合了船舶工程发展的需要。这一现实绝不意味着船舶运动流体动力计算的三维理论在当时并不为人们所知，事实恰恰相反，求解流场振荡速度势的格林函数法早为人们所熟悉，在1940年代末1950年代初，Haskind［35］、Havelock［36］、John［37］等人就已经求解出三维脉动点源格林函数的解析表达式，但当时和以后的一段时间内，由于缺乏大容量、高速度的计算机，三维计算没有实现的可能性。严格意义上的船舶摇荡三维流体动力计算出现在20世纪70年代。电子计算机的问世及其异乎寻常的迅猛发展，为三维计算的实现创造了条件。三维计算关于无航速的船舶（包括海洋工程结构物）的流体动力和运动的研究比较多，并且自Hess和Smith［38］首次基于分布奇点方法求解无界流场中的三维无升力绕流问题以来，随着计算机的普及和计算性能的增强，三维频域理论和方法得到了飞速发展。三维频域理论中最常用的数值方法是格林函数法。目前，应用最为广泛的是三维自由面格林函数法和Rankine源法。三维自由面格林函数法也称复杂格林函数法，由于所用的自由面格林函数满足除物面条件以外的所有边界条件，因此只需要在船体湿表面上分布源或偶极来计算速度势。利用自由面格林函数法研究船舶在波浪中运动的关键在于格林函数的求解，对于满足自由面和远方条件的格林函数的数值计算问题，Noblesse，Newman和Telste等人做了大量研究，提出了很多快速计算的方法。自由面格林函数法非常适用于无航速浮体与波浪的水动力相互作用问题，Kim［39］、Faltinsen和Michelsen［40］、Newman［41］、Ursell［42］、Hulme［4344］、Lau和Hearn［45］、Lee、Newman和Zhu［46］、Wu［4748］采用此方法计算了半潜圆球、圆环等刚体的水动力系数。国内学者也作了很多相关研究，方钟圣［49］运用源偶混合分布法计算了大型海洋浮式结构物上的水动力；孙伯起［50］、董慎言［51］用分布面元法对波浪中任意形状三维浮体的二阶力作了计算；王言英和阎德刚［52］、Qian和Wang［53，54］则计算了浮体在随机海浪中的运动响应谱。时至今日，三维频域格林函数法已经相当成熟，在工程上的应用范围也可以与切片法相提并论。基于这一方法已经研发了很多实用的商业软件，如美国麻省理工学院开发的WAMIT、挪威船级社的SESAM（WADAM模块）和法国船级社的HYDROSTAR等。

另一种常用的三维频域方法是简单格林函数法，也称频域Rankine源法。由于形式复杂的自由面格林函数难于实现数值计算，因此一些学者尝试使用Rankine源来代替它。Rankine源法需要在整个流场边界上分布源汇，因此需要用适当的方法来处理自由面条件和辐射条件。总体而言，Rankine源法计算简单，可以进一步计入非线性自由面和定常势的因素；缺点是需要在整个流场边界面上布置奇点，计算量比较庞大。Nakos和Sclavounos［55］应用频域Rankine源法分析了流场的定常和非定常速度势；Sclavounos和Nakos［56，57］研究了频域Rankine源法数值计算的稳定性，并对Wigley和Series 60船型的水动力系数和运动响应进行了数值计算。Sclavounos系统总结了频域Rankine源法，并给出指导性的结论。贺五洲和戴遗山用Rankine源法求解了零航速浮体振荡的三维水动力系数，辐射条件的处理采用的是匹配法。李谊乐等［58］应用Rankine源和高阶边界元法计算了半球的水动力系数。

有航速问题一直是三维频域方法的难点。满足有航速情况下自由面条件和辐射条件的频域格林函数早在1946年由Haskind［59］导出，在这之后Havelock［60］、高木又男［61］、缪国平［62］和Bessho［63］等相继推导出Havelock型、Michell型和Bessho型有航速频域格林函数（也称移动脉动源）的表达式。洪亮［64］和朱仁传等对移动脉动源作了系统的数值计算，通过交换物理空间积分和Fourier空间积分的次序，提出并推导了分布在水平线段上移动脉动源格林函数的半解析单重积分表达，对应的数值计算精度高、收敛快、稳定性强，并据此提出了一种计算稳定的面元积分离散格式，将其成功地应用于有航速船舶的运动计算。

3）三维时域理论(https://www.xing528.com)

虽然频域理论因其成熟简便而应用广泛，但它通常只适合于求解稳态问题，在处理非线性和瞬态等复杂问题时常常力不从心。而船舶流体动力计算的另一重要理论——时域理论在这方面则具有先天优势，不论全非线性还是物体任意复杂运动都可在其范畴内进行研究。时域理论的开创性工作是由Finkelstein［65］和Cummins［66］完成的。Finkelstein系统地推导了无限水深和有限水深情况下满足自由面条件的时域格林函数，Cummins则创造性地把扰动速度势分解成瞬时效应和记忆效应部分，这样就把运动与物体的几何形状分开来，建立了脉冲响应函数法。Ogilvie［67］在上述理论的基础上讨论了有航速情况的求解方法。Wehausen［68］基于满足自由面条件的时域格林函数建立了积分方程，并推导了无航速时的Haskind关系。尽管时域理论的提出并不算晚，但直到1979年才由荷兰水池的Oorermersen［69］在计算机上实现了数值计算。这主要是因为时域方法计算量庞大，只有当计算机性能发展到一定阶段以后，数值计算才得以实现。之后，Chapman［70］将Cummins的方法加以推广，计算了二维浮体的大振幅瞬态运动，后来又研究了三维有航速的情况。

三维时域理论主要包括线性理论和非线性理论。线性理论相对较简单，自由面和物面上满足的边界条件均简化为线性，且在平均位置上近似满足。在线性理论范畴内，常用的时域方法是自由面格林函数法。该方法使用满足线性自由面条件的时域格林函数，由于时域格林函数具有积分高频振荡及增幅等特性，导致其数值计算十分困难。针对这一点不少学者提出了各种计算方法。Inglis［71］、Beck［72，73］和Newman［74］对其采用分区方法进行数值计算。黄德波基于制表插值方法构造了时域格林函数及其导数的快速计算方法。Clement［75］通过求解4阶常微分方程来得到时域格林函数的数值解。Duan和Dai［76］则采用不同方法推导了其所满足的常微分方程式。朱仁传等［77］提出了一种较为实用的数值计算处理方法，其结合了制表插值法的高效率和求解常微分方程法的高精度优势。由于时域格林函数自动满足线性自由面条件和辐射条件，所以只需在物面上分布奇点，该处理方法计算较为简便，自从出现以后得到了充分的研究和应用。Beck和Liapis［72］等分别给出了处理无航速浮体辐射问题的源偶混合分布法和分布源法；且在此基础上Beck［73］对波浪中的船舶运动作了预报并将结果和频域方法作了比较。King，Beck和Magee［78］基于上述时域格林函数对线性绕射问题做了求解。在国内，张亮和戴遗山［79］给出了用反向辐射势表示绕射力的关系式，并借此研究了近水面航行物体的绕射问题。周正全等［80］对船舶在波浪中航行时的线性绕射问题进行了计算。王大云［81］利用上述时域格林函数，求解弹性体的辐射和绕射问题，计算了其水动力系数和波浪力。朱海荣［82］基于三维时域格林函数法求解多浮体共振与有航速船舶在波浪中运动的问题。不过，时域自由面格林函数也存在两个突出的缺点：一是对于外飘非直壁船型，不论是否有航速，都会出现数值计算振荡发散的现象，使得求解无法进行下去；二是计算仅满足线性自由面条件，难以考虑自由面非线性因素的影响。

为了克服上述缺点，就必须改用其他形式的格林函数，于是Rankine源法开始受到研究者的青睐。该方法使用的简单格林函数（Rankine源），不满足任何边界条件，因此要在物面和自由面上都分布源汇。正因为如此，Rankine源法具有很强的灵活性，非常适用于非线性问题的研究。完全非线性理论最初由Longutt-Higgins和Cokelet［83］提出，此后很多学者对其进行了大量研究。基于Rankine源法，蔡泽伟等［84，85］研究了近水面三维物体的非线性运动问题；Ferrant［86］研究了部分非线性的波浪运动问题；Kring等［87］考虑了物体瞬时湿表面上的非线性静水回复力和入射波力，提出了弱散射理论；Yasukawa［88］提出了计及自由面和物面非线性的时域耐波性计算方法；Kim等［89］计算了船舶在波浪中的非线性运动和结构载荷。Rankine源法的难点在于辐射条件的处理，为了达到限制计算区域且保证波浪在边界上透射的目的，需要采取适当的手段。Huang和Sclavounos［90］，Kim和Kring［91］，钱昆［92］以及陈京普［93］等通过在自由面边界条件上添加阻尼项的方法来满足上述要求，即所谓的数值海岸法。随着计算机性能的提高，Rankine源法的实际应用范围也越来越广。不过，Rankine源法自身也存在缺点：一是计算量太大，尤其是全非线性方法要求随时间步进重复划分湿表面和自由面网格、建立边界积分方程并求解，故一般的计算机根本难以满足需求；二是辐射条件的处理方法还不够完善，很多情况下还依赖于经验。

复杂和简单格林函数法独立求解船体运动问题的缺点明显，为了将时域自由面格林函数和Rankine源的优点相结合，有学者提出了一种混合格林函数法。该方法通过引入一个假想的控制面将计算流域人为分割为内流场和外流场两个部分，在内流场采用Rankine面元法建立边界积分方程，在外流场采用时域格林函数法建立边界积分方程，再通过内外流场在控制面处的速度势及其法向导数连续的条件，将内外流场的边界积分方程联立求解。理论上控制面的大小是可以任意设定的，这样就避免了Rankine面元法自由面过大以及辐射条件处理困难的缺点，同时控制面的形状也是任意的，这样可以通过引入直壁控制面克服时域格林函数计算结果发散的问题。Kataoka和Iwashita［94］，Liu和Papanikoaou［95］，Duan和Dai［96］等学者对该方法进行研究，唐恺［97］采用时域混合格林函数法对船舶在波浪中的运动进行了数值计算，研究了控制面范围和自由面网格划分对水动力计算结果的影响，同时利用该方法计算了两船之间相互作用。这种方法在计算经典船型时有很好的计算效果，但由于发展时间较短，仍需要大量的验证工作。

4）非线性理论

全非线性势流计算广泛采用的是混合Euler-Lagrange方法。在时间步进方法中，在每一时间步必须完成两件主要工作。第一件是在Euler框架下解决混合边值问题。在自由面上速度势是已知的，而根据物面条件，在物体表面上法向速度是已知的。在Lagrange阶段，利用全非线性自由面边界条件来追踪自由面起伏和自由面上的速度势。这个方法已经应用到有物体或者没有物体存在的各类二维和三维的水波问题。混合的Euler-Lagrange方法中，一般采用Rankine源作为格林函数，这时要满足远方无波浪反射的辐射条件是个难题。理想的远场边界条件，应该对于向各个方向传播的波浪是都是零反射，而且不需加大计算量。在全非线性计算中，入射波场也应该是全非线性的。最普通的防止波浪反射的技术是采用吸收边界条件，或者吸收岸滩。通过在自由面条件中增加一些额外项以造成波浪耗散。典型的情况是，这些额外项的系数的选择要根据波浪的频率加以调整。数值岸滩可能是目前最好的解决办法，可是远未达到满意的程度。这些方法是在自由面上添加大量的未知量，而且必须在每一时间步中确定它们。然而，即使最好的数值岸滩，仍然还有几个百分数的波浪反射。

船舶在波浪上运动的非线性现象受到人们极大的关注，如船舶和海洋工程结构物遭受的二阶定常波浪漂移力和缓变波浪漂移力（second order steady and slowly varying wave drifting forces）以及由此而来的二阶运动。以二阶波浪力为主的航行船体波浪中增阻在最近也成为一个重要的研究方向［64］。

随着计算机技术和考虑黏性的计算流体动力学（CFD）技术的发展，CFD方法成为对船舶在波浪中运动响应的预报的一条新途径。1980年代，Miyata等学者［98，99］就将CFD技术应用于船舶水动力计算中，他们采用有限差分法（finite difference mehtod，FDM）和MAC（Marker和Cell）法，通过求解Navier-Stocks（N S）方程来模拟船舶的兴波流场，并开发了求解器TUMMAC- Ⅳ。Sato等［100］采用有限体积法（finite volume method，FVM）开发了求解器WISDAM -Ⅴ，计算了Wigley和S60船模在迎浪中的运动响应。Orihara和Miyata［101］在此基础上引入重叠网格技术对一种集装箱船（SR-108）在迎浪中的运动响应以及波浪增阻进行求解和优化。Hino等［102104］研究了人工伪压缩法和Level-Set法，采用动网格技术实现了Wigley船模在波浪中的运动模拟。Yang［105］采用网格自适应技术研究了大幅波浪中浮式结构物与波浪的强非线性的相互作用。吴乘胜［106］基于黏流理论初步开发了三维数值波浪水池，计算拘束船模在迎浪规则波中的水动力。方昭昭等［107，108］基于Fluent建立了数值波浪水池，对WigleyⅢ船模在波浪中的辐射绕射问题进行研究。Wilson等［109］对带附体舭龙骨的DTMB 5415船模在静水中的自由横摇以及在横浪中的横摇运动进行了计算。Carrica等［110］利用重叠网格法对DTMB 5512船模在波浪中的垂荡和纵摇运动进行了求解。近些年来，随着CFD技术的发展，Fluent、Star CCM+、OpenFOAM等CFD计算软件已经被广泛应用于船舶水动力计算的各类问题，为众多学者的研究工作提供非常有力的计算工具，在此就不一一赘述了。

尽管相对来说，船舶在波浪上运动理论研究的历史不算长，但它的发展是相当迅速和成功的。目前，可以利用快速的势流理论计算方法预估某一船舶在指定海况中的运动特征，特别是对某些重要的船舶设计，在方案比较阶段用理论手段对其耐波性能进行比较和选择，已经成为设计部门的常规流程。可以说，在船舶运动性能研究的各领域中，船舶在波浪上运动的理论计算预测最为成功和鼓舞人心。但是，应该指出，目前的理论计算还没有达到完全取代模型试验的程度，最后常常需用模型实验的结果进行校核。另外，在非线性运动计算、预测及其对机理的解释等方面还存在不少理论上的困难。然而可以预料，随着工程上对船舶运动性能预测的要求日益增高，必将促进船舶在波浪上运动理论研究的进一步发展。同时，目前计算机工业的迅速发展和伴之而来的新计算技术和方法的不断涌现，为理论研究向纵深发展开拓了现实的可能性和光明的前景。势流理论不管如何完善，它忽略了流体的黏性。而CFD方法直接离散求解RANS（Reynolds averaged Navier-Stokes）方程，可以解决非定常问题，甚至Guillerm和Alessandrini［111］采用一种耦合数值计算方法，将船体邻域分成两个相交的区域：考虑黏性影响、求解RANS方程的近船区域和远场的势流流动区域。目前，非线性和黏性是船舶在波浪上运动计算中引人注意的两个领域。

【注释】

[1]傅汝德，也称弗劳德，本书中尊重专业习惯，译作傅汝德。

[2]STF是Salvesen-Tuck-Faltinsen的缩写。