小学数学教师教学评估结果评分

为了考评教师的教学质量，教学研究部门设计了一个教学评估表，对学生进行一次问卷调查，要求学生对12位教师的15门课程（其中3位教师有两门课）按以下7项内容打分，分值为1～5分（5分最好，1分最差）：

x1——课程内容组织的合理性；x2——主要问题展开的逻辑性；x3——回答学生问题的有效性；x4——课下交流的有效性；x5——教科书的有效性；x6——考试评分的公正性；y——对教师的总体评价.

收回问卷后，得到了学生对12位教师、15门课程各项评分的平均值，如表9.3.1所示.

表9.3.1　12位教师、15门课程各项评分的平均值

教学研究部门认为，所列各项具体内容x1～x6中不一定每项都对教师总体评价y有显著影响，而且各项内容之间也可能存在很强的相关性，他们希望得到一个总体评价与各项具体内容之间的模型，这个模型应尽量简单、有效，并且由此能给教师一些合理的建议，以提高总体评价[21].

【关于逐步回归】

虽然给出了6个自变量，但是我们希望从中挑选出对因变量y影响显著的那些来建立回归模型.变量选择的标准应是将所有对因变量影响显著的自变量都选入模型，而影响不显著的自变量都不选入，从便于应用的角度来说应使模型中的自变量个数尽量少.逐步回归就是一种从众多自变量中有效地选择重要变量的方法.

逐步回归的基本思路是，先确定一个包含若干自变量的初始集合，然后每次从集合外的变量中引入一个对因变量影响最大的，再对集合中的变量进行检验，从变得不显著的变量中移出一个影响最小的，依此进行，直到不能引入和移出为止.引入和移出都以给定的显著性水平为标准.

MATLAB统计工具箱中的逐步回归命令是stepwise，它提供人机交互式画面，研究者可以在画面上自由地引入和移出变量，进行统计分析，其通常用法是：

Stepwise(x,y,inmodel,penter,premove)

其中x是自变量数据，排成n×m矩阵（m为自变量个数，n为每个变量的数据量）；y是因变量数据，排成n维向量；inmodel是自变量初始集合的指标（即矩阵x中哪些列进入初始集合），缺省时设定为没有选取任何x的列向量；penter是引入变量时设定的最大p值，缺省时为0.05；premove是移出变量时设定的最小p值，缺省时为0.10.premove值不能小于penter值.

运行如下程序：

得到Stepwise Regression的初始界面窗口（6个自变量都没有进入初始模型），如图9.3.1所示.

界面的左上方给出了所有6个变量的回归系数的估计及误差界（用水平线表示），其中计算机屏幕上彩色的水平线表示置信度为90%的置信区间，灰色的为其95%的置信区间.水平线若为红色，则表示该水平线所对应的变量没有被选入模型中.界面上方中间部分的表格显示的是某个变量一旦被选入到模型中时，该变量的回归系数的估计值、检验的t统计量值以及p值.一般来说，每一步选入的都是具有最小p值或最大统计量值的项，图9.3.l中为自变量x2.一般只需按Next Step按钮进行下一步操作，程序就会自动选择所要引入或移出的自变量，并在界面的右上方给出相应的结果.当然也可以手动操作，用鼠标点击表中的一行，改变其状态，即目前不在模型中的一个变量（红色的行）被引入（变蓝），目前在模型中的一个变量（蓝色的行）被移出（变红），直到界面提示Move no terms为止.通常我们可以直接按All Steps按钮来完成整个模型的逐步回归过程.如在图9.3.1中按All Steps按钮，可得到逐步回归的最终结果，如图9.3.2所示.(www.xing528.com)

图9.3.1　Stepwise Regression初始界面

图9.3.2　Stepwise Regression最终界面（按All Steps按钮所得）

Stepwise Regression界面分为上、中、下三个部分，界面的上面部分已经做过介绍.界面中间部分的表格给出了该回归模型的所有计算结果，包括Intercept（截距，即回归常数）、决定系数R2、检验的F值、RMSE（剩余标准差）、调整的决定系数R2以及检验的p值，这里调整的决定系数R2为，其中k为选入模型的自变量个数.

界面的下面部分Model History，给出了逐步回归中每步所对应的模型的剩余标准差的点图（蓝色的点），将鼠标移至某步对应的蓝色点，会显示此步对应的模型中所包含的自变量，点击该蓝色的点可追踪当前模型所对应的界面.

关于我们的问题，从图9.3.2可以看出，最终入选的自变量只有x1，x3（显示为蓝色），通过分析可知，随着逐步回归的进行，每步模型所对应的剩余标准差（RMSE）减少到0.1，虽然在个别步中R2略有下降，但模型的F值却大大提高.这些都表明，仅含x1，x3的模型是合适的，由x1，x3的回归系数和回归常数利用逐步回归最终得到的模型为

【模型的解释】

在最终模型中回归变量只有x1，x3，是一个简单易用的模型，据此可把课程内容组织的合理性（x1）和回答学生问题的有效性（x3）列入考评的重点.模型（9.3.1）表明，x1的分值每增加一分，对教师的总体评价就增加约0.5分；x3的分值每增加一分，对教师的总体评价就增加约0.77分.应建议教师注重这两方面的工作.

为了分析其他自变量没有进入最终模型的原因，可以计算x1～x6，y的相关系数.利用MATLAB统计工具箱执行corrcoef(x)命令直接得到这7个变量的相关系数矩阵：

一般认为，两个变量的相关系数超过0.85时才具有显著的相关关系.由上面结果可知，与y相关关系显著的只有x1，x2，x3，而x2未进入最终模型，是由于它与x1，x3的相关关系显著（相关系数r12=0.9008，r32=0.8504），可以说，模型中有了x1，x3以后，变量x2是多余的，应该去掉.

评注：如果初步看来影响因变量的因素较多，并得到了大量的数据，为了建立一个有效的、便于应用的模型，可以利用逐步回归选择那些影响显著的变量“入围”.

如果怀疑原有变量的平方项、交互项等也会对因变量有显著影响，也可以将这些项作为新的自变量加入候选行列，用逐步回归处理.这样，本章第一节和第二节中模型的变量选择，都可以用逐步回归的方法去做，有兴趣的读者不妨一试.