战略轰炸机群的最佳投弹方案

某战略轰炸机群奉命摧毁敌人的军事目标，该目标有四个要害部位，摧毁其中一个即可达到目的.为完成此项任务，汽油消耗量限制为48000升、重型炸弹48枚、轻型炸弹32枚.飞机携带重型炸弹时每升汽油可飞行2千米，携带轻型炸弹时每升汽油可飞行3千米.每架飞机每次只能装载一枚炸弹，每出动轰炸机一次除来回路程汽油消耗（空载时每升汽油可飞行4千米）外，起飞和降落时每次各消耗100升.有关数据如表6.3.1所示.

表6.3.1　轰炸部位、距离、摧毁概率

为了使摧毁敌人的军事目标的可能性最大，应如何制订飞机的轰炸方案[11]？

【问题分析】

由于汽油消耗量和轻重炸弹数量是两个主要约束条件，所以需要计算飞机打击每个要害部位往返飞行所需要的耗油量，包括满载和空载飞行油耗以及起降油耗.例如，重型炸弹打击要害部位1需要耗油：

通过计算得到飞机打击每个要害部位往返飞行所需要的耗油量，如表6.3.2所示.

表6.3.2　耗油量

【模型假设】

（1）每架飞机每次只能携带一枚炸弹；

（2）假设飞机在轰炸过程中都能安全返航；

（3）假设飞机按直线飞行，不考虑飞机在投炸弹过程中的转弯路程；

（4）假设有足够的飞机执行任务.

【模型建立】

设xij表示第i种炸弹攻击第j要害的次数（i=1，2分别表示重型炸弹和轻型炸弹；j=1，2，3，4）；pij表示第i种炸弹攻击第j要害的概率；cij表示第i种炸弹攻击第j要害一次的油耗（升），c为油耗限制（这里为48000升）；bi为第i种炸弹的数量限制.

最大化地攻击目标的概率、每枚炸弹击中目标的概率相互独立，所有炸弹均未击中目标的概率为

所以目标函数为

（1）油耗限制：

（2）轻、重炸弹数量限制：(www.xing528.com)

【模型求解】

这里我们要考虑线性化方法，考虑到目标函数可等价地转化为

这是指数函数连乘的形式，可以考虑对其取对数（底数大于1）.令qij=1-pij，则原问题目

标函数等价于：

对数函数既保持了原函数的单调性，同时也成功地将问题线性化为：

编制LINGO求解程序Fight1.lg4：

运行结果如下：

即向4号目标部位投掷重型炸弹46枚、轻型炸弹30枚，向2号目标投掷重型炸弹2枚、轻型炸弹1枚，剩余1枚轻型炸弹.简单计算可得此时的最大摧毁概率为0.999999998808821，油耗量为48000，即无剩余.

如果考虑在最大可能击中目标的前提下，尽量省油，则可考虑如下模型：

其中m为前面Fight1.lg4优化出来的目标结果-20.54832.编制如下LINGO程序Fight2.lg4：

结果如下：

即向4号目标投掷重型炸弹46枚、轻型炸弹31枚，向2号目标投掷轻、重型炸弹各一枚，剩余1枚重型炸弹.此时的最大摧毁概率仍为0.999999998808821，但油耗量为47990，较上一解成本稍低.

评注：关于本题建立的最大摧毁目标概率的非线性规划模型，采用取对数的线性化手段将原模型化成了与之等价的线性规划模型，很容易地求解出其全局最优解，同时对结果进行了分析和进一步优化，这是同学们需要认真领会的技巧.