中学数学建模方法-非线性规划数学模型

一、基本概念

目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数的最优化问题叫做非线性规划问题.非线性规划问题的数学模型一般可写为：

其中x=(x1，x2，…，xn)T∈Rn，表示x是n维欧氏空间Rn中的向量或点，f，gi，hj是定义在Rn上的实值函数，简记为

f:Rn→R，gi:Rn→R，hj:Rn→R.

如果采用向量表示法，则模型（6.1.1）可以写成：

其中

g(x)=(g1(x)，g2(x)，…，gm(x))T，

h(x)=(h1(x)，h2(x)，…，hk(x))T，

即g，h分别是定义在Rn上而取值于Rm，Rk的向量函数，简记为

g:Rn→Rm，h:Rn→Rk.

至于求目标函数的最大值或在约束条件小于等于零的情况，均可通过转化，取其相反数，化为上述一般形式.

求解非线性规划问题要比求解线性规划问题困难得多.关于非线性规划问题，目前还没有适合于各种问题的一般算法，各种算法都有特定的适用范围，是需要人们进行更深入研究的领域.线性规划问题如果有最优解，其最优解必然能在可行域的顶点（或边界）上取得；而非线性规划问题的最优解却可能在可行域的任一点上取得.因此，线性规划中单纯形法求出的是全局最优解，而一般非线性规划方法求出的只是局部最优解.

绝大多数实际问题都是有约束的问题.对约束极小化问题来说，除了要使目标函数在每次迭代时有所下降外，还要时刻注意解的可行性问题，这就给寻优工作带来很大困难.求解带约束条件的非线性规划问题的常见方法是：将约束问题化为无约束问题，将非线性规划问题化为线性规划问题，将复杂问题化为简单问题.

满足模型（6.1.1）中条件的解x(∈Rn)称为可行解（或可行点），所有可行解的集合称为可行集（或可行域），记为D.即

D={x|g(x)≥0，h(x)=0，x∈Rn}，

模型（6.1.1）可简记为.

与线性规划不同的是非线性规划的最优解可分为局部最优解和全局最优解两种：

定义6.1　对于模型(6.1.1)，设D∈＊x，若存在δ＞0，使得对一切D∈x，且||x-x*||＜δ，都有f(x*)≤f(x)，则称x*是f(x)在D上的局部极小值点（局部最优解）.特别地，当x≠x*时，若f(x*)＜f(x)，则称x*是f(x)在D上的严格局部极小值点（严格局部最优解）.

定义6.2对于模型(6.1.1)，设D∈＊x，若对一切D∈x，都有f(x*)≤f(x)，则称x*是f(x)在D上的全局极小值点（全局最优解）.特别地，当x≠x*时，若f(x*)＜f(x)，则称x*是f(x)在D上的严格全局极小值点（严格全局最优解）.

从定义可以看出，x*是局部极小值点，是指以x*为中心的一个邻域内，在点x*处取得最小值；x*是全局极小值点，是指在可行域D内，f(x)在点x*处取得最小值.全局极小值点可能在某个局部极小值点处取得，也可能在可行域D的边界取得.

下面通过实例介绍一下非线性规划建模过程.

二、生猪的出售时机问题

一个饲养场每天投入4元资金用于饲料、设备、人力的开支，估计可使一头80千克重的生猪每天增加2千克.目前，生猪出售的市场价格为每千克8元，不过预测每天会下降0.1元，问该厂什么时候出售这样的生猪为佳？如果上面的估计和预测有出入，对结果有多大影响[1]？

【问题分析】

投入资金的目的是使生猪体重随时间增加，然而售价（单价）却随时间下降，所以，应该存在一个最佳的出售时机，使获得利润最大.这是一个优化问题.决策变量为时间t，目标函数为利润函数Q.

【模型假设】(www.xing528.com)

每天投入4元资金使生猪体重每天增加一个常数r千克（r=2）；生猪出售的市场价格每天降低一个常数g元（g=0.1）.

【模型建立】

设第t天生猪体重为w(t)千克，t天投入的资金为C(t)元，纯利润为Q(t)元，出售收入为R(t)，单价为p(t)（元/千克），按假设

w(t )=80+rt ，p (t)=8-gt，R=p(t)w(t)， C=4t.

从而得到纯利润函数（模型）：

Q(t)=R-C-8×80=(80+rt)(8-gt)-4t -8 ×80，

其中，r=2，g=0.1，求t，使)(max tQ.

【模型求解】

这是二次函数求最大值问题，用代数法或微分法得

当r=2，g=0.1时，t=10，即10天后出售，可得最大纯利润为20元.

【敏感性分析】

由于模型假设中的参数（生猪每天体重的增加量r和每天价格降低量g）均为估计和预测的，所以必须研究它们变化时对结果的影响.

（1）设每天价格降低量g=0.1元不变，研究r变化时的影响.

显然，t是r的增函数.

即当每天生猪体重增加1%时，出售时间推迟3%.

（2）设每天生猪体重的增加量r=2千克不变，研究g变化时的影响.

显然，t是g的减函数.

即当生猪价格每天降低量g增加1%时，出售时间提前3%.

因此，当r，g有微小变化时对模型结果影响不太大.

【强健性分析】

建模过程中假设生猪体重的增加和价格的降低都是常数，由此得到的w和p都是线性函数，这是对现实情况的简化.而更实际的模型应考虑非线性和不确定性，如

w=w(t )，p=p(t)，Q(t)=p(t)w(t )-4t -8×80.

由微分法，最优解应满足p′(t)w(t )+p(t)w′(t )=4，出售的最佳时机是保留生猪直到利润的增值等于每天投入的资金为止.本例中p′=-0.1， w′=2是估计的，只要它们变化不大，上述结论就可用.

另外，由敏感性分析S(t，r)=3可知，若1.8≤w'≤2.2(10%以内)，结果应为7≤t≤13(30%以内).

评注：这个模型本身非常简单，着重在于介绍它的敏感性分析和强健性分析.对优化模型而言，进行敏感性和强健性分析是很有必要的，能体现模型是否真得有用.