双层玻璃的功效问题,中学数学建模方法

北方城镇某些建筑物的窗户的设计是双层的，即窗户上装两层玻璃且中间留有一定的空隙，如图4.3.1左图所示，据说这种玻璃窗能够减少室内向室外流失的热量.试建立数学模型来描述热量通过窗户的传导过程[6].

图4.3.1　双层玻璃窗与单层玻璃窗

【模型假设】

（1）热量的传播过程只有传导，没有对流.即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的.

（2）室内温度T1和室外温度T2保持不变.热传导过程已处于稳定状态.即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数.

（3）玻璃材料均匀，热传导系数是常数.

【模型建立（根据物理定律建模）】

热传导过程遵循的物理定律是厚度为d的均匀介质，两侧温度差为ΔT，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q与ΔT成正比，与d成反比，即

k为热传导系数.

双层窗内层玻璃的外侧温度为Ta，外层玻璃的内侧温度为Tb，玻璃的热传导系数为k1，空气的传导系数为k2，单位时间单位面积的热量传导（即热量流失）为

（4.3.2）

求解得(www.xing528.com)

而对于厚度为2d的单层玻璃窗，其热量传导为

两者之比为

（4.3.5）

结论1　同样多材料的双层玻璃窗比单层玻璃窗能够减少室内向室外热量的流失.

【数值模拟】

取反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，而.图4.3.2给出了～h的曲线.

图4.3.2　热损失比Q1/Q2与h的关系

结论2　双层玻璃之间的空气层的宽度不必过大.

评注：机理分析法是最常用的建模方法，本例成功地用明确的物理学定律解释生活实际，而且给出了具有指导意义的结论与建议.