《矩阵》基本知识点-数学建模方法

矩阵理论是线性代数中最重要的一个部分，矩阵是数学中极其重要并且应用广泛的工具.本节首先介绍矩阵及其相关的概念，然后介绍矩阵的相等、线性运算、矩阵乘法及相应的运算律.

一、矩阵概念

由个数aij构成的m行n列数表

称为维（型）的矩阵（matrix），简称为矩阵.记为A=(aij )m×n，Am× n 或A=(aij )，其中aij为矩阵的第i行第j列元素，i=1，2，…，m为行标，j=1，2，…，n为列标.

注：矩阵一般用大写黑体字母A，B，…表示.

例1　试写出4 ×5矩阵A，其元素aij =2i -j.

解　由已知条件得

则

例2　试写出游戏“石头、剪刀、布”的二人零和对策中甲的得分矩阵，规定胜者得1分，败者得-1分，平手各得零分.

解　依题意

所以

二、矩阵的线性运算（矩阵加法、数乘）

1.矩阵相等

设有两个m×n矩阵

若a ij=bi j (i=1，2，…，m; j=1，2，…，n)，则称矩阵A和B相等，记作A=B.

注意：矩阵相等必须满足：行列对应相等且元素对应相等.

2.矩阵加法

设有两个m×n矩阵

矩阵称为矩阵A与B的和，记作C =A +B=(ai j+bij )m×n .

注意：只有同型的两个矩阵才能进行加法运算.

3.矩阵减法

设A=(aij )m×n ，负矩阵定义为：-A=(-aij )m×n =.

O=称为m ×n零 矩阵.

矩阵的减法定义为：

4.加法运算律

（1）A+B=B+A；

（2）(A+B)+C=A+(B+C)；

（3）A+O=O+A=A；

（4）A-A=A+(-A)=O，

其中，A,B,C及零矩阵O是同型矩阵.

5.数乘矩阵

数k与矩阵A的乘积记作kA，规定为：

其运算规律如下：

（1）k(A+B)=kA+kB；(www.xing528.com)

（2）(k+h)A=kA+hA；

（3）k(h A)=(k h)A；

（4）1A=A，

其中A,B为矩阵；k，h为数.

例5　如果矩阵X满足X-2A=B-X，其中求X.

解　因为X-2A =B -X，所以则

三、矩阵的转置

把矩阵A的行换成同顺序的列得到的新矩阵叫做A的转置矩阵，记作AT.

例如：

四、矩阵乘法

引例某服装商店一天的牛仔裤销售量如表3.5.1所示，且知每条W牌、L牌、CF牌、BO牌、BA牌牛仔裤的利润分别为15元、17.5元、20元、12.5元、20元.

表3.5.1　某店牛仔裤销量表

问题1：这一天内，最小号牛仔裤的销售利润总和是多少？

问题2：30号牛仔裤的利润总和是多少？

问题3：所有牛仔裤的销售利润总和是多少？

解　由已知得：利润矩阵，销量矩阵.

所以，所有牛仔裤的销售利润总和为120+387.5+257.5+97.5=862.5（元）.

设矩阵A=(aij )m×s，B=(bij )s×n ，矩阵A与B的乘积是一个m×n矩阵C=(cij )m×n ，其中

记作C=AB.

注：（1）只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘.

（2）乘积矩阵AB=C的第i行第j列元素cij是A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和.

（3）一个矩阵与一个矩阵的乘积是一个1阶矩阵，也就是一个数.

例如： C=AB=，

即c21=a 21b 1 1+a 22 b21+…+a 2s bs1 .

例6　求矩阵A=的乘积AB.

例7　求矩阵A=的乘积AB 与BA.

一般地：（1）矩阵的乘法不满足交换律，即AB　BA；

（2）两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.即由AB=O不能推出A=O或B=O.

例8　设矩阵计算AO，AB.

解　显然AO=O；

矩阵乘法不满足消去律，即由AB=AC不能推出B=C.

矩阵的乘法运算规律（假设运算都是可行的）：

（1）(AB)C=A(BC)；

（2）A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA；

（3）k(AB)=(kA)B=A(kB)(其中k为数).