一、平面区域
1.二元一次不等式表示平面区域
在平面直角坐标系中，平面内所有的点被直线Ax+By+C=0分成三类：
（1）满足Ax+By+C=0的点；
（2）满足Ax+By+C＞0的点；
（3）满足Ax+By+C＜0的点．
2.二元一次不等式表示平面区域的判断方法
直线l：Ax+By+C=0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分：当点在直线l的同一侧时，点的坐标使式子Ax+By+C的值具有相同的符号；当点在直线l的两侧时，点的坐标使式子Ax+By+C的值具有相反的符号．
例1 在直角坐标系xOy中，已知△AOB的三边所在直线的方程分别为x=0，y=0，2x+3y=30，则△AOB内部和边上整点（即坐标均为整数的点）的总数为（ ）.
A.95 B.91 C.88 D.75
答案 B
图3.2.1 例1的图
解析 如图3.2.1所示，由2x+3y=30知：
y=0时，0≤x≤15，有16个；
y=1时，0≤x≤13；y=2时，0≤x≤12；
y=3时，0≤x≤10；y=4时，0≤x≤9；
y=5时，0≤x≤7；y=6时，0≤x≤6；
y=7时，0≤x≤4；y=8时，0≤x≤3；
y=9时，0≤x≤1，y=10时，x=0.
所以，共有16+14+13+11+10+8+7+5+4+2+1=91个.
二、简单的线性规划
1.线性规划中的基本概念（见表3.2.1）
表3.2.1 线性规划的基本概念
2.求解线性规划的基本步骤
第一步：在直角坐标系中作出可行域；
第二步：通过观察目标函数对应直线系的纵截距，在可行域中找到最优解对应的点；
第三步：解出最优解，从而求出目标函数的最值.
例2 （1）若变量x，y满足约束条件
，则z=2x-y的最大值为（ ）.
A.-1 B.0 C.3 D.4
答案 C
解析 作出可行域如图3.2.2（a）阴影部分所示，作直线l0:2x-y=0，平移l0，当平移到经过点A(2，1)时，zmax=3.
图3.2.2 例2的图(www.xing528.com)
（2）已知x，y满足不等式组
，目标函数z=ax+y只在点(1，1)处取最小值，则有（ ）.
A.a＞1 B.a＞-1 C.a＜1 D.a＜-1
答案 D
解析 作出可行域如图3.2.2（b）阴影部分所示．
由z=ax+y，得y=-ax+z.
z只在点(1，1)处取得最小值，则斜率-a＞1.
故a＜-1，故选D.
3.简单线性规划的实际应用
第一步：先设相关变量，找出目标函数与约束条件；
第二步：作出可行域，寻找最优解（结合实际情况）；
第三步：回答实际问题.
例3 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是（ ）.
A.12万元 B.20万元 C.25万元 D.27万元
答案 D
解析 设生产甲、乙两种产品分别为x吨，y吨，
由题意得
获利润ω=5x+3y，画出可行域如图3.2.3所示.
图3.2.3 例3的图
由
，解得A(3，4)．
因为
，
所以当直线5x+3y=ω经过A点时，ωmax=27.
例4某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人；运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数，可得最大利润z=（ ）.
A.4650元 B.4700元 C.4900元 D.5000元
答案 C
解析 设该公司派甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，
由题意得
利润z=450x+350y，可行域如图3.2.4所示．
图3.2.4 例4的图
解
，得A(7，5)．
当直线350y+450x=z过A(7，5)时z取最大值，
所以zmax=450×7+350×5=4900（元）.故选C.
反思：约束条件为不等关系，目标函数为等量关系，且z为所求.因此，要先找目标函数，再确定约束条件.
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