数学建模中蕴含着许多实用性非常强的解题思想，它对于解决许多复杂的实际问题有很大的帮助，所以建模教学进入中学课堂是一种趋势也是一种必然.
21世纪数学课程改革加强了应用性、创新性的培养，重视了联系学生生活实际和社会实践的要求，为此，我们开展了中学数学建模教学与应用的研究和实践，目的是培养学生的创造能力和应用能力，把学生从纯理论解题的题海中解放出来，把学生应用数学意识的培养贯穿于教学始终，让学生学得生动活泼，以使数学素质教育跃上一个新的高度.
数学建模就是通过对实际问题的抽象、简化，确定变量和参数，并应用某些“规律”建立起变量、参数间的确定的数学问题，求解该数学问题，解释、验证所得到的结果.它是一种数学思维方式，是对“现实的现象通过心智活动构造出能抓住其重要且有用的特征的表示，常常是形象化的或符号的表示”．
在数学学习活动中，认识问题和解决问题都是知识与方法相互作用的结果．初中数学中重要的数学思想有：字母代数思想、转化与化归思想、数形结合思想、分类思想、方程与函数思想、公理化思想等．数学方法有：类比法、归纳法、演绎法、配方法、换元法、待定系数法、数形结合法等．这些思想方法相互联系，相互渗透，相互补充，将整个数学知识构成一个有机和谐统一的整体．数学建模教学要重视数学知识，更应突出数学思想方法．
建模活动包括以下四个主要过程：
（1）问题分析过程：了解问题的实际背景材料，分析并找出问题的本质.
（2）假设简化过程：选出影响研究对象的主要因素，忽略次要因素，这样既简化了问题又抓住了问题的本质.
（3）建模求解过程：根据分析建立相应的数学模型，并用数学方法或计算机程序对模型进行求解.
（4）验证修改过程：检验模型是否符合实际，并对它做出解释，最后将其应用于实际生产、生活中，产生社会效益或经济效益.
二、建模解题的基本步骤
数学建模是一个数学解题过程，大致分为以下四个步骤：
（1）审题：现在的高中数学应用题的题目较长，要求学生具有较强的数学阅读能力.通过仔细阅读题目，理解问题的实际背景，分析处理有关数据，把握已知量和未知量的内在联系.审题时要准确理解关键语句的数学意义，如“至少”“不大于”“总共”“增加”“减少”等，明确变量和参数，合理设元.
（2）建立数学模型：将实际问题抽象为数学问题，即为数学建模做最后阶段的审题工作，从各种关系中找出最关键的数量关系，并将此关系用有关的量及数学符号表示出来，即可得到解决问题的数学模型.
（3）求解数学模型：根据建立的数学模型，选择合适的数学方法，设计合理简捷的运算途径，求出数学问题的解，其中特别注意实际问题中对变量范围的限制及其他约束条件.
（4）检验：既要检验所得结果是否适合数学模型，又要评判所得结果是否符合实际问题的要求，从而对原问题做出合乎实际意义的回答.
三、中学数学建模教学和建模能力培养
数学建模教学是学生走出课本、走出传统的习题演练，这些演练使他们进入了生活与生产的实际中，进入了一个更加开放的天地，也使学生体会到数学的由来及数学的应用，体验到一个充满生命活力的数学，这对于培养学生的应用意识和创造精神显然是一个很好的途径.
1.从生活中的数学问题出发，强化应用意识
日常生活是应用问题的源泉之一.现实生活中有许多问题可通过建立数学模型加以解决，如合理负担出租车车资问题、家庭日用电量的计算问题、红绿灯管制的设计问题、登楼方案问题、住房问题、投掷问题等，都可用基础数学知识建立初等数学模型，加以解决.
例1（分油问题） 在山西民间，有一个人们常提的问题，说的是：3斤的葫芦7斤的罐，10斤的油篓分一半.
实际上是说：有一个能装10斤油的油篓装满了油，另外只有两个容器，即：能装3斤油的葫芦和能装7斤油的罐.现在要把10斤油分出一半来，问该怎么分？
解 要把10斤油分出一半来，必须把7斤的罐中的油倒出2斤到3斤的葫芦中，而3斤的葫芦中的油的另外一斤油可由7-3×2=1得来.
例2（真假问题） 很久以前，在很远的地方，住着两个种族的人：阿纳尼阿斯人——他们都是积习很深的说谎者；迪昂根尼斯人——他们无一例外的都是诚实者.一次，一个外来者到访这块土地，遇见三个居民，问他们各属于什么种族？第一个人回答的声音很低，外来者没听清楚他说了什么；第二个人指着第一个人说：“他说他是阿纳尼阿斯人”；第三个人指着第二个人说：“你说谎”.请你想一想：他们各是什么种族的人.
解 每一个居民必定说自己是迪昂根尼斯人.迪昂根尼斯人这么说，是因为他们说真话，而阿纳尼阿斯人这么说，是因为他们说谎话.因此，第二个人说的话必定是假的，而第三个人说的话是真的，他是迪昂根尼斯人.
于是，可以判断第二个人和第三个人属于什么种族，而第一个人属于什么种族，尚难确定.
例3（建房问题） 某房屋开发公司用100万元购得一块土地，该地可以建造每层1000平方米的楼房，楼房的总建筑面积（即各层面积之和）的每平方米平均建筑费用与建筑高度有关.楼房每升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用提高5%.已知建筑5层楼房时，每平方米的建筑费用为400元，为了使该楼每平方米的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把楼建成几层？
分析 本题属于综合费用最省的优化问题，解决此问题的关键是寻找楼层的层数与综合费用的函数关系式，将问题转化为求函数的最值问题.
解 设楼房应建成x层，
则每平方米的购地费用为=
（元）.
每平方米建筑费用为400+400(x-5)×5%（元）.
所以，每平方米的综合费用为
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当
时，该楼房每平方米的平均综合费用最少，此时
，解得x≈7，因此应把楼建成7层.
总之，对于某些实际问题，可以通过建立合理的数学模型来解决.对于相同类型的问题，可采用相同的数学模型，使学生的思维过程形象化、公式化，这样，学生学起来不感到抽象、难懂，并能增强记忆和理解，容易被学生所接受.一个学生是否具有创造能力的一个重要标志是他是否有建立并应用数学模型的能力，因此，在数学教学中应充分重视培养这种能力，鼓励他们独立思考、勇于探索，发现前人尚未发现的问题的新结论、新方法.
2.从社会热点问题出发，介绍建模方法
国家大事、社会热点、市场经济等都是中学数学建模教学的好素材，适当地选取，融入教学活动中，使学生掌握相关类型的建模方法，不但可以使学生树立正确的商品经济观念，而且还为其日后能主动地以数学的意识、方法、手段处理问题打下了基础.
例4 为了防范“甲流”病毒入侵校园，根据上级疾病控制中心的要求：每平方米的教室地面，需用质量分数为0.2%的过氧乙酸溶液200克进行喷洒消毒.
（1）请估算：你所在班级的教室地面面积约为_____平方米（精确到1平方米）；
（2）请计算：需要用质量分数为20%的过氧乙酸溶液多少克加水稀释，才能按疾病控制中心的要求，对你所在班级的教室地面消毒一次？
分析设教室面积为a平方米，需用x克的水将质量分数为20%的过氧乙酸溶液进行稀释.根据“稀释前溶质质量=稀释后溶质质量”，有
(200a-x)⋅20%=200a⋅0.2%.
所以，x=198a.
学生通过阅读本题，自然而然地会想到2003年上半年那场可歌可泣的、没有硝烟的抗“非典”战争.这是一个列方程类的应用题.第一小题考查了学生应初步具有的估算能力，第二小题把浓度问题巧妙地融入其中，既考查学生解决实际问题的能力，又考查学生活学活用的能力.它不仅使学生从中学到了数学建模的方法，也让学生得到了德育教育，体现了数学的社会化功能.
例5 荆门火车货运站现有甲种货物1580吨、乙种货物1150吨，需安排一列货车将这批货物运往某市.这列货车可挂A、B两种不同规格的货厢共50节.已知用一节A型货厢的运费是0.5万元，用一节B型货厢的运费是0.8万元.
（1）设运输这批货物的总运费为y（万元），用A型货厢的节数为x（节），试写出y与x的函数关系式.
（2）如果甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A、B两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请你设计出来.
（3）利用函数的性质说明，在这些方案中，哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元？
解（1）总运费=甲的运费+乙的运费：
y=0.5x+0.8(50-x)=40-0.3x.
（2）设用A型货厢的节数为x节，用B型货厢的节数为(50-x)节，则
所以，30≤x≤33.
（3）y=40-0.3x，y随x的增大而减小，当x=33时，y最小为30.1.
虽然数学建模的目的是解决实际问题，但对于中学生来说，进行数学建模教学的主要目的并不是要他们去解决生产、生活中的实际问题，而是培养他们的数学应用意识，掌握数学建模的方法，以便为将来的工作打下坚实的基础.因此，在教学时，要授之以渔，尤其要注重培养学生从初看起来杂乱无章的现象中抽象出恰当的数学问题的能力，即培养学生把客观事物的原型与抽象的数学模型联系起来的能力.
3.以活动为手段，培养建模能力
利用课外活动时间开展综合实践活动课，并把它作为建模教学不可分割的一部分.为了改变过去以教师为中心、以课堂讲授为主的传统教学模式，数学建模课程的指导思想应强调：以实验室为基础、以学生为中心、以问题为主线、以能力培养为目标来组织教学工作，通过教学使学生了解利用数学理论和方法去解决实际问题的全过程，以提高他们学习数学的兴趣和应用数学的能力，并使他们在以后的工作中能常常想到用数学知识解决实际问题.
例6 为了测量人民公园中荷花池两旁A、B两棵树间的距离（见图2.1.1），由于条件限制无法直接测量，请你用所学过的数学知识设计出一种测量AB的方案？
建模二：构造等腰三角形或等边三角形，求出AB.
建模三：构造三角形及其中位线，利用中位线的性质求出AB.
建模四：构造两个三角形，利用全等或相似性质来求出AB.
总而言之，应用数学知识解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步.建立数学模型的过程，就是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.即通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题.数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，具有难度大、涉及面广、形式灵活的特点，所以说数学建模教学本身也是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程.
图2.1.1
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