中学数学建模-中学数学建模方法

一、什么是数学模型

其实当你早在学习初等代数的时候就已经碰到了数学模型.当然其中许多问题是老师为了教会学生知识而人为设置的.譬如你一定解过这样的所谓“航行问题”：

甲、乙两地相距750 km，船从甲地到乙地顺水航行需30 h，从乙地到甲地逆水航行需50 h，问船速、水速各若干？

用x，y分别代表船速和水速，可以列出方程组：

实际上，这组方程就是上述航行问题的数学模型.列出方程，原问题已转化为纯粹的数学问题.方程的解为x=20 km/h，y=5 km/h，最终给出了航行问题的答案.

当然，真正要建立实际问题的数学模型通常是很复杂的，但是建立数学模型的基本过程已经包含在解这个代数应用题的过程中了.那就是：根据建立数学模型的目的和问题的背景做出必要的简化假设（航行中设船速和水速为常数）；用字母表示待求的未知量（x，y分别代表船速和水速）；利用相应的物理或其他规律（匀速运动的距离等于速度乘以时间），列出数学式子（二元一次方程）；求出数学上的解答（x=20，y=5）；用这个答案解释原问题（船速和水速分别为20 km/h和5 km/h）；最后还要用实际现象来验证上述结果.

一般来说，数学模型可以描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据其特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，再运用适当的数学工具，得到的一个数学结构.

需要指出，本书的重点不在于介绍现实对象的数学模型（mathematical model）是什么，而是要讨论建立数学模型（mathematical modelling）的全过程.下面将建立数学模型简称为数学建模或建模.

二、数学建模的重要意义

数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，自然有着与数学同样悠久的历史.两千多年以前创立的欧几里得几何，17世纪牛顿发现的万有引力定律，都是科学发展史上数学建模的成功范例.进入20世纪以来，随着电子计算机的出现与飞速发展，数学以空前的广度和深度向其他领域进行渗透，数学建模也越来越受到人们的重视，可以从以下几方面来看数学建模在现实世界中的重要意义：

（1）在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地.

在以声、光、热、力、电这些物理学科为基础的诸如机械、电机、土木、水利等工程技术领域中，数学建模的普遍性和重要性不言而喻.虽然这些基本模型已经存在，但是由于新技术、新工艺的不断涌现，人们还是提出了许多需要用数学方法解决的新问题；高速、大型计算机的飞速发展，也使得过去即便有了数学模型也无法求解的课题（如大型水坝的应力计算、中长期天气预报等）迎刃而解.(www.xing528.com)

（2）在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具.

无论是发展通信、航天、微电子、自动化等高新技术本身，还是将高新技术用于传统工业去创造新工艺、开发新产品，计算机技术支持下的建模和模拟都是经常使用的有效手段.所以，国际上一位学者就提出了“高技术本质上是一种数学技术”的观点.

（3）数学迅速进入一些新领域，这为数学建模开拓了许多新的处女地.

随着数学向诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生.这里一般来说不存在作为支配关系的物理定律，但当用数学方法研究这些领域中的定量关系时，数学建模就成为首要的、关键的步骤，同时也成为这些学科发展与应用的基础.在这些领域里建立不同类型、不同方法、不同深浅程度的模型的余地相当大，这为数学建模提供了广阔的新天地.

今天，在国民经济和社会活动中的诸多方面，数学建模都有着非常具体的应用：

（1）分析与设计.例如，描述药物浓度在人体内的变化规律以分析药物的疗效；建立跨音速流和激波的数学模型，用数值模拟设计新的飞机翼型.

（2）预报与决策.生产过程中产品质量指标的预报、气象预报、经济增长预报，等等，都要有预报模型；使经济效益最大的价格策略、使费用最少的设备维修方案，都是决策模型的例子.

（3）控制与优化.电力、化工生产过程中的最优控制、零件设计中的参数优化，都要以数学模型为前提.建立大系统控制与优化的数学模型，是迫切需要同时也是十分棘手的课题.

（4）规划与管理.生产计划、资源配置、运输网络规划、水库优化调度，以及排队策略、物资管理等，都可以用数学规划模型解决.

美国国家科学院一位院士总结了将数学科学转化为生产力过程中的成功和失败，得出了“数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术”的结论，认为数学“由研究到工业领域的技术转化，对加强经济竞争力具有重要意义”，而“计算和建模重新成为中心课题，它们是数学科学技术转化的主要途径”[1].