高中数学运算素养内涵解析

（一） 数学运算能力的含义

在《中学数学教育学》中，章士藻教授说过，所谓的运算能力，除了会根据法则、公式等正确地进行运算，而且还要理解运算的算理，还要能够根据问题的已知条件和隐含的信息寻求合理、简捷的运算途径。他认为，中学数学运算，不应该只是单纯地将其理解为数值计算，还应该包括在方程和式方面应有方程与不等式的同解变形、函数的初等运算、式的恒等变形、微积分运算、几何量的测量、超越运算等。

林崇德则认为，中学阶段，数学运算能力主要是在根据中学数学的法则、公式等进行数学运算中体现出来的，主要体现在这期间表现出来的正确、合理、灵活、熟练的程度上，还表现在理解运算的算理，根据题目条件寻求最合理、最简捷运算途径的水平上。我们在进行数学运算的过程中，还应该注重算法算理的理解，知道其中的来龙去脉，在数值计算方面，对准确性的要求是毋庸置疑的，除此之外，对快速性也有一定的要求，我们不应该进行复杂而烦琐和过于机械的重复计算，更应该重视对估算能力的培养。

夏小刚教授认为，中学生数学运算能力的发展水平可以分为两种层次：第一，能根据法则、公式进行正确运算；第二，在运算过程中，理解算理，能根据题目条件寻求合理、简捷的运算途径。其中，第一层次主要强调的是正确性，正确性显得尤为重要，第二层次主要强调的是运算的合理性与简捷性。前一层次是最基本的运算能力。夏小刚教授认为，在中学阶段，除了培养学生第一层次的运算能力之外，还应在此基础上重点培养学生第二层次上的运算能力。

刘影等人认为，数学运算能力是指在运算定律的指导下，运算技能与逻辑思维能力结合起来对具体的式子进行变形的演绎过程。其主要表现为，不但要会根据法则等进行正确的运算，而且还要理解运算的算理，更主要的是要能根据题目的已知信息去探索解题途径，并寻求合理简捷的算法。

陆书环等人指出，数学运算是数学科学的重要内容，其外延十分丰富，数学运算能力是在数学运算中表现出来的，是在实际的数学运算中逐步形成和发展的。这种表现有两方面：一是正确性；二是迅速性。但没有正确的运算就不能谈运算的迅速性，因为只有在确保正确的前提下，才能谈迅速，如果不能确保正确性，那么迅速性就不能反映数学运算的效率。

简洪权指出，数学运算能力不仅是能根据概念、法则、定理、公式等对数、式进行正确变形和运算的能力，还是根据题意分析已知条件，努力探寻与设计合理、简捷的运算途径的能力，也是能根据要求对数据进行估计，并进行正确运算的能力。顾剑锋认为，运算能力是指合理选择运算方向，熟练掌握基本运算，拥有扎实的数值计算能力，拥有对预期结果的估计能力以及检验的意识。

徐有表等认为，数学运算能力是学生在数学活动中表现出来的，能根据题目的已知信息，合理地、简捷地、灵活正确地完成数学运算活动任务的个性心理特征，主要强调的是完成数学运算活动任务的效率。他强调，数学运算不是简单加、减、乘、除的计算，而是一种由低级到高级的综合能力，并且与记忆能力、观察能力、理解能力、表达能力、想象能力、推理能力等有关，数学运算能力是由这些能力互相渗透、互相支撑而形成的一种比较特殊的能力。

课程标准中明确指出，数学运算能力指在根据公式、法则等进行数、式、方程的正确变形和运算以及理解算理的基础上，能根据问题的已知条件，寻求与设计合理、简捷的运算途径的能力。在实际的数学教学中，我们应该把培养学生的数学运算能力作为培养能力、智力和数学素养的第一目标。(www.xing528.com)

综合以上各位专家、学者对数学运算能力的界定，笔者认为，数学运算能力是从问题的已知条件出发，灵活地选取法则、公式、定理等对数、式进行正确的变形、运算和数据处理，能从问题的已知条件出发探寻与设计合理、简捷的运算途径，能根据题目要求对数据进行估计和近似计算的能力。

（二） 数学运算能力的结构

简洪权将数学运算能力分为五个部分，分别是对题目信息的挖掘能力；对概念、法则、公式和定理进行正确运用的能力；对运算方法的选择能力；对数学思想和方法的运用能力；估算能力。

陆书环根据心理学家研究的结果，将运算能力分解为六个方面的能力。一是对运算问题的最初定向，即当学生面对题目时，需要对已知条件进行分析和处理，弄清楚问题的基本结构，有哪些数量关系，属于哪类问题，哪些数量有用，哪些是干扰信息，解决该问题，需要用到哪部分知识等。二是对具体运算问题的抽象和概括能力，即会用已学的公式、法则等解决特定的数学问题，并分析实际解决数学问题的过程，概括总结出解题思路、方法和规律。三是缩短推理过程和简化相应运算环节的能力。缩短推理过程和简化相应运算环节是数学运算能力中简捷性的具体体现，在确保正确性的前提下，学生要提高运算效率，就必须具备缩短推理和简化相应运算环节的能力。四是对运算方法的转换能力。有的数学问题的解决方法是多种多样的，这就要求解决数学问题的主体具备从一种解题方法转换到另一种解题方法上的能力，在数学推理和数学运算过程中也有一定的表现，如公式的正用逆用、正向思维向逆向思维的转换、正向运算转向逆向运算等。五是优化运算过程和运算方法的能力。在学生用一种方法解决完一个特定的数学问题后，尝试着去寻找有没有更简单的方法可以解决该问题，以便达到简单明了的目的。六是记忆能力，即能记住所学过的知识，包括概念、公式、法则、定理，常用的解题方法、数学思想方法等。这些都是教师在数学教学中有针对性地培养学生的数学运算能力的重要依据。

简洪权对数学运算能力的结构有不同的看法，他将运算能力分解为五个方面，一是充分挖掘题目的信息，包括已知条件、隐含的条件、结论信息等。充分挖掘题目的信息是寻求与设计合理、简捷的运算途径的大前提。二是定义、公式、法则和定理的运用能力。三是运算方法的选择能力，运算量的大小是由运算方法决定的，所以选择恰当的运算方法也可以达到简化运算过程的目的。四是数学思想和方法的运用能力。五是估算能力。

综合上述研究，笔者认为数学运算能力可以分解为四种能力（如图5-1所示），一是挖掘题目信息的能力，即挖掘题目的已知条件，包括显性信息和隐性信息。挖掘题目的已知条件是为寻求合理的运算途径做准备。二是对公式、法则和定理等的运用能力，正确地运用公式、法则、定理等是解决数学问题的基础，其中包括对其的正用、逆用和变用。三是选择简捷的运算途径，针对有多种解法的数学问题，选择简捷的运算途径是在寻求合理的运算途径的基础之上，选择最简单运算途径解决数学问题。四是估算能力，估算可以帮助学生对数学问题结果正确性加以把握，是学生发展自己的数感的重要内容和途径，一定的估算能力是良好运算素养的一种体现。

图5-1　数学运算能力