培养学生直观想象素养与能力的建议

（一） 直观性教学的原则

直观性教学原则是指教学中利用学生的多种感官和已有经验，通过各种形式的感知，丰富他们的感性认识，形成所学事物的清晰表象，从而使学生比较深刻地理解知识和发展认识能力。其运用要求是，第一，正确选择直观教具和现代教学手段；第二，直观要与讲解相结合；第三，重视运用语言直观。直观性教学原则主要强调，第一，要给学生展示事物的直观形象，提供感性而具体的经验；第二，要充分利用学生的已有经验；第三，直观是手段而不是目的。下面笔者对直观性教学原则在数学教学中的应用进行分析。根据中学生的年龄特征和认知结构，在教学中要通过各种形式的感知，为他们提供一定的直接经验和感性认识，选择直观教具进行感知是常用的一种教法，包括图片、图表、模型，投影仪、教学影片及计算机等。这类直观可以突破时空的限制而广泛应用，可以化大为小，化静为动，化抽象为具体，突出事物的本质，便于更好地揭示教学规律。例如，在立体几何的教学中，介绍空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系时，可出示直观模型，通过模具的运动变化，使学生感知可能的各种位置关系，然后加以刻画，完成对知识的认知过程。在线面垂直的判定定理证明及异面直线上两点之间的距离公式推导等内容的教学中，利用直观模型对学生进行感知，是帮助他们理解和认知的基础，是教学的一个主环节。

实验是直观性教学的重要组成部分，通过实验可以帮助学生逐步形成概念，增强对新知识的感性认识。在教学中，教师精心设计，安排演示实验或者组织学生动手实验，通过观察、分析、引导，在帮助学生获取感性材料的同时，促使他们积极思考，探索、发现规律，揭示结论，提高学生分析和解决问题的能力。

数学语言包括文字语言、符号语言及图形语言。把抽象数学语言转译成直观的数学语言，是理解和解决数学问题的基本方法，是数学教学中的一项重要工作。通过对数学知识的形象归纳和总结，往往有助于对知识的理解和识记，是数学教学中巩固和熟练运用知识的一种重要教学手段。

最后必须指出的是，在贯彻直观性教学原则的过程中，一般应注意以下三点：第一，要根据学科的性质、教材的内容和学生的年龄精心选择和恰当运用直观手段；第二，要善于与启发式教学结合起来，带动师生双边活动的开展，优化课堂教学结构；第三，要充分利用直观材料培养学生的观察能力，引导他们学会对直观材料进行分析、比较、综合、抽象的思维方法，努力提高学生分析和解决问题的能力。

（二） 数学教学的直观手段

对直观教学手段进行研究，早期的是曹志仕的研究。他认为，中学数学直观教学手段有学校现有模型、自制模型、其他学科的模型、投影胶片、组合胶片、活动投影模型。有一种观点认为，在教学中直观不是目的，而是一种手段，因此在使用这种手段的时候，要把握好时机。

数学教学的直观手段分为感官直观与思维直观两大层次，这是由数学的特点和数学的认知特点所决定的。从数学教材的内容所呈现出的逻辑结构来看，较高级的抽象层次建立在较低级的抽象基础之上，从认知的角度讲，也要先从对客观事物的直接认识出发，形成对教材内容逻辑结构的把握。

1.感官直观层次上的直观手段

（1）实物直观

实物直观是指在教师的指导下，让学生直接作用于大自然，取得对大自然的直接感知，从中抽象出所学习的数学概念，形成鲜明的表象，以利于牢固地掌握特定的基本概念或基本方法，形成对后续知识的学习的牢固基础。例如，学生通过对光线、绳子等感知形成直线、射线、线段等概念，通过折纸发展学生的几何观念等。另外，在教师的指导下，让学生利用所学理论解决实际问题，从而巩固所学知识，对所学知识达到更深刻的掌握，从这种意义上讲，它也应视为实物直观手段。例如，中学生利用同一时刻，物高与影长之比为定值的原理去测量旗杆的高度，或利用相似的原理去测量河的宽度。实物直观具有鲜明性、生动性和真实性，有利于学生确切地理解教材、掌握教材，有助于提高学生的学习兴趣和积极性，能激发学生的求知欲，使学生掌握得快，也不易忘记。实物直观的缺点是，事物的本质特征难以突出、内部不易细察、动静难以控制，不易组织学生进行有效的观察。

（2）模象直观

在数学课程中，由于理论的理想性，直接通过现实世界现象的观察有时就显得不够，不足以抽象出相应的概念和关系，因而就产生了模象这种直观教具。模象直观也叫教具直观，是直观教学的类型之一，指通过对实际事物的模拟性形象的感知提供感性材料的直观方式，如观看图片、图表、模型、幻灯、录像、电影等。立体几何的教学中广泛地使用着模型直观的手段，正是这一手段，帮助学生建立起空间概念，促使其空间能力、想象能力及逻辑思维能力的形成。模象直观就可以摆脱实物直观的局限性，根据教学目标的要求对实物进行模拟、放大、缩小、突出重点，可以变静为动或变动为静，把快变慢或把慢变快，也可以变死为活、变远为近，从而把难以呈现的对象在学生面前呈现出来。模象直观还可使抽象难懂的东西成为具体的、认识的东西。利用模象直观，既可以使学生通过模拟大自然的状态的方法间接地认识自然，又有利于学生从他们习惯的生活经验和常规思想向着与他们所学习的知识相适应的那种经验和思维，即理论思维过渡，有利于训育学生的常规思想，使其摆脱偏见和谬误，对学生形成科学的概念和原理，掌握概念之间的关系具有重大的作用。在数学教学中，模象、图形直观是一种重要的直观手段。从小学的数的概念的建立和几何形体的割补变换，到中学的平面几何、立体几何、集合对应、函数等内容的教学，随处可见模象直观。模象直观不是实物，难免导致学生获得的知识不是很确切，因此在制作和使用教具时，要注意教具中的事物与实际事物之间的正确比例。

2.思维直观层次上的直观手段(www.xing528.com)

（1）数学语言直观

语言直观是对实物直观和模型直观的一种辅助形式，一般指在教学中使用形象化的语言描述。数学语言是逻辑性很强的语言，通常按数学语言所使用的主要词汇，将数学语言分为三种，即文字语言、符号语言和图象语言。图象语言是数学的直观语言，它不同于实物的直观感知，而是通过抽象思维加工和概括的产物，它形象、直观地表达数学概念、定理和法则，往往使整个思维过程变得易于把握。图形一般分为几何图形、函数图象，另外还有韦恩图、示意图、表格和思路分析图等。如今，随着计算机器绘图功能的不断完善，图形语言备受青睐，已成为学习新知识，提出并解决新问题的有力工具。文字语言、符号语言向图象语言的转化已成为数学问题直观化的主要手段之一。中学数学中有许多与实际联系紧密的内容，如列方程解应用题部分，还有许多概念是实际的抽象，如正负数的概念可以看作零上气温和零下气温的抽象。像这样一些内容，都可以通过大量的感性事实用形象化的语言，使学生能直观地把握相应的内容。

数学语言直观是通过教师对事物的形象化的语言描述引起想象进行的，语言直观可以利用表象和再造想象，唤起学生头脑中有关事物形象的重现或改组，从而造出新形象。语言直观可以不受客观条件的限制，不受时间、地点、设备的限制，但它不如感知那样鲜明、完整和稳定，它容易中断、动摇、暗淡，甚至不正确。教师在进行直观教学时，要根据教学目的的要求，从教学内容的实际出发，结合学生身心发展的特点，这样才能有效地提高教学质量。

（2）模式直观

基于一种思维的直观，张广祥提出了几何直观对应的代数教学中的模式直观。模式直观是根据概念的抽象度的梯次而形成的一种直观，它与本书的图形直观不同，尽管在某些形式中存在着些许异曲同工之处，比如，关于欧拉多面体的证明在本书中是一种类比直观化，而在张广祥的观点下，则是一种模式直观。与“模象直观”借助视觉感官不同，模式直观则是借助抽象思维的层次而展开的，大自然具有秩序，人的思维过程则具有层次性，从比较具体的思维向更加抽象的思维逐步过渡。于是，在较高层次的思维过程中，我们可以利用较低层次的直观形象为背景构建推理模式。

一般来说，所谓模式直观，是指通过相对比较具体的、先前已经熟悉的，具有普遍协调感的、容易接近的模式作为背景，使得人们能够进一步把握和理解更加抽象、更为深刻的思维对象。模式直观是人们对事物之间逻辑关系的一种比较直接的、形象的推断和理解。早在古希腊就有了公理化的演绎体系，欧几里得的《几何原本》是其杰出代表。只是在19世纪与20世纪之交，数学家希尔伯特建立了“形式主义数学”体系之后，公理化数学才真正严格地建立起来。这是人类理性精神的伟大胜利。公理化数学主张复杂的数学推理应当放置在一个逻辑基础充分可靠的基础上，使得数学推理不受推理者的主观意志的干扰，从而把推理的前提与推理的过程严格地区分开来。传统的观点认为，一旦公理系统已经形成，依靠直觉所产生的知识就不再随意进入推理过程。

如果把这种形式主义数学观绝对化，就会导致全盘排斥直觉在数学推理中的作用，认为直觉不可靠。但是，数学家创建新的数学，并不能排除直觉的参与，我们不能仅仅依靠公理化的形式演绎来获得推理结果。英国数学哲学家、科学哲学家拉卡托斯详细考查了欧拉多面体定理：V+F=E+2的形式过程与证明逻辑。这一定理最简洁的证明途径是，设想把一个单连通多面体的某个面延展开去，然后把多面体的其他的面压缩到这个被延展开的面上，这样就不难知道平面图满足欧拉等式V+F=E+1，再还原为多面体的欧拉等式V+F=E+2。拉卡托斯评论说，没有哪一位数学家不承认这是一个完美的数学证明。在这样漂亮的证明中，无论我们从哪一个角度来分析问题，最为重要的，也最本质的一步就是“绷大”一个面，“压缩”其他面的想法。这样的“绷大—压缩”实际上仅仅是“头脑里的操作”，是一种典型的思想实验，这种想法虽然奇特，但是非常直观。我们没有任何理由怀疑这种直观方法在逻辑上有什么不可靠。而且，我们也无法找到这样的“头脑里的操作”有什么“公理依据”，或者什么“逻辑法则”的依据，我们所依靠的仅仅是“直观”。这种“直观操作”并不依赖对几何图形的直接观察，而是一种广泛为人们所接受的思维模式。

真正的创造性的数学推理过程，即数学思维的原始形态，充满模式直观。我们通常看到的作为结果的数学，只是“冰冷而美丽”的数学的学术形态。

（三）加强数形结合方法在直观性教学中的渗透

数形结合是变换的一种，它是符号信息和形象信息的转换。把对数的思维转移到对形的思维，由数思形，由形思数，数形渗透，两者相互推进，层层深入，触发学生灵感；培养学生思维的灵活性和创造性。

由数思形，许多问题直接从“数”出发本身去解，往往难以下手，抓不住问题的本质，但若能从“形”的角度考虑，如把属于代数、三角范畴的数量关系转化为空间形式，则错综复杂的关系往往清晰可辨，解题思路茅塞顿开。

数学是研究数量关系与空间形式以及它们之间关系的一门科学，“数”具有概括性、抽象性的特点，而“形”则具有具体化、形象化的特点，两者之间没有不可逾越的鸿沟。数形结合是数学解题的基本策略之一，通过平面直角坐标系既可以使几何问题转化为代数问题，又可使代数问题转化为几何问题；既能发挥代数的优势，又可充分利用几何直观，借助形象思维获得出奇制胜的精巧解法。华罗庚教授的这些话对我们的数学解题具有极深刻的启示。数形结合解题常使我们的思维豁然开朗，视野格外开阔，不少精巧的解法正是数形结合相辅相成的产物。

许多代数问题，直接根据数量关系求解显得十分繁难，但如果能够将解决的问题转化为与之相关的图形问题，使数量关系形象化，再根据图形的性质和特点进行解题，常能节省大量繁杂的计算，使问题的解答简洁直观，别具一格。