高中数学教学：挖掘学生思维潜能

有学者在谈到数学思想、方法的教育功能时认为：“数学思想方法的教学能够增进学生的抽象思维，促进形象思维、直觉思维的敏捷性，有利于训练学生思维的深刻性，增强学生数学思维的灵活性，发展学生数学思维的批判性，形成学生数学思维的概括性，培养学生数学思维的广阔性，激发学生数学思维的独创性。”这一观点表明，重视数学思想方法的教学是促进学生思维能力发展，使其形成良好的思维品质的素质教育的重要内容。

（一）重视知识发生的教学，加强思想方法的训练和培养

知识的发生和应用整理是数学教学过程的两个主要阶段。知识的发生是建立新旧知识内在联系，获得新知的过程，它包括概念的形成与理解、结论的猜想与论证、数学思想方法的探求等。知识的应用是已有知识和方法在应用中进一步理解和巩固的过程。在传统教学中，知识的发生过分萎缩，知识的应用过分膨胀。20世纪80年代就有实行以“推迟判断”为特征的课堂结构改革的呼吁，以加强知识发生过程的教学。实际上，知识的发生过程也就是其思想方法的发生过程。因此，概念的形成过程、问题的发现过程、规律的揭示过程、结论的推导过程、方法的思考过程等都是对学生进行数学思想方法训练和培养的极好机会，成为数学思想方法教学的主渠道。

新课程标准指出：“高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。”人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴含的数学模式进行思考和做出判断。数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用。教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想（如函数、空间观念、运算、数形结合、向量、导数、统计、随机观念、算法等）要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。由于数学高度抽象的特点，应注重体现基本概念的来龙去脉。在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质。

对于规律（如定理、公式、法则等），也要重视其发生过程的教学。教师也应当善于引导学生通过感性的直观背景材料或已有的知识发现规律，不过早地给结论，弄清抽象、概括或证明的过程，充分地向学生展现自己是怎样思考的，使学生领悟蕴含其中的思想方法。

总之，在课堂教学过程的每一个环节上都要有意识地引导，抓住传播数学思想方法的每一个机会，长此训练和培养，学生才能逐渐步入数学思想与方法的自由王国。高中基本的数学思想在第三章已做详细介绍，现将高中基本的数学方法列举如下。

1.定义法

所谓定义法，就是直接利用数学定义解题。数学中的概念、定理、公式等很多内容都是由定义推理得到的。定义揭示了概念的内涵和外延，反映了事物的本质属性，为解题提供了理论依据。

2.换元法

所谓换元法，就是在解决数学问题时，先用一个变量代换一个整体数学表达式，再去解决问题的过程，这样可以使原问题得到简化。换元就是将原问题转化的过程，关键是构造元和设元进行等量代换来简化研究对象，使非标准型问题标准化、复杂问题简单化。常见的换元涉及局部换元、均值还原、三角换元。

3.配方法

配方法是对数学式子进行一种定向变形，配成“完全平方”的技巧。通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”以及“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。

4.待定系数法(www.xing528.com)

所谓待定系数法，通常是已知所求解析式的一般形式，只是对其未知数的具体系数还未确定时常采用的方法。

5.数学归纳法

所谓数学归纳法，是证明与正整数有关的一些数学恒等式或与正整数有关的一些数学不等式时常用的方法。具体的数学论证方法有三个步骤：第一步，证明结论在n=n0时成立；第二步，假设在n=k时结论成立；第三步，证明n=k+1时命题也成立。于是它把判断结论的正确性从特殊推广到一般。运用数学归纳法的证明过程类似于多米诺骨牌的玩法，在解决相关问题时达到了一般方法无可取代的作用。

（二）做好整理总结，进行思想方法的概括和提炼

数学思想方法以数学知识为载体，分布比较分散，这种教学形式不仅有利于数学思想方法的学习与巩固，也符合学生对数学思想方法的认知规律，学生在潜移默化、耳濡目染中逐步感受、领悟和掌握数学思想方法。但由于同一数学问题可以涵盖很多不同的数学思想方法，同一数学思想方法分布在不同的数学问题中，经常进行总结，以集中的方式纵横两面复习，对掌握数学思想方法也是十分必要的。

例如，高中立体几何中“点、直线、平面之间的位置关系”是高中数学知识的难点内容，它除了要求学生具备良好的空间想象能力，还要有过硬的解决平面几何问题的能力，才能顺利地完成从平面图形到空间图形的转化，由此才能深入了解此章的各种空间公理、定义、定理并予以进行几何证明。学生在初期学习空间相关定理时，理解掌握的情况还可以，但到应用定理去证明计算一些具体立体几何题目时，就会显得有些困难，不能在具体稍复杂的空间环境中寻找出几个相关的基本定理的模式或者是对基本定理还是混淆不清造成的；此时，教师应善于及时对最初的基本原理进行再梳理、再总结、再概括、再提炼，以促使学生对所学知识有更深一层的领悟，自然在解决问题时思维也会更清晰，方法也会更得当。

（三）加强解题教学，突出思想方法的指导和统摄

在数学解题研究方面，波利亚堪称一面旗帜，他曾强调指出：“中学数学教学的首要任务就是加强解题的训练。”然而，他所大力倡导的“解题”完全不同于无度的“题海战术”。他主张，与其穷于应付烦琐的教学内容和过量的题目，还不如选择一道有意义但又不太复杂的题目，就如同通过一道大门而进入一个崭新的天地，他所提出的“怎样解题”只是“题海游泳术”的纲领，他认为解题应作为培养学生的数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。

波利亚的想法启发我们加强解题教学，不是为了解题而解题，而是通过解题反思总结归纳解题方法，提炼升华到数学思想的高度；同时在解题活动中，不断巩固数学思想方法，以此更好地发现解题途径。

首先，引导学生在解题中运用数学思想方法。在解题教学中，教师要善于通过选择典型例题进行解题示范，不能就题论题，而是要就题论理，这个理就是数学思想方法，要从数学思想方法的角度来指导解题教学，为学生做出示范，逐渐培养学生学会用数学思想方法去观察、分析、比较、分类、综合、抽象、概括问题的习惯。还要指导学生运用数学思想方法分析解题思路，把握解题方向，抓住解题本质，学会思考的方法。

其次，引导学生在解题反思中领悟数学思想方法。反思是解题活动不可缺少的重要环节。针对某一数学问题，没有任何一种解题方法是完美无缺的，总有它的一些缺憾之处，师生不要遗漏它，而是对其充分地再钻研、再探讨，不仅能优化解题过程，还能深刻自我的思维活动，总结更为丰富的解体经验。例如，在引导学生自觉检查自己的思维活动，反思自己的思维策略运用了哪些基本的思想方法时，如果解题错误，一定要反思错误原因，只有这样才能对数学思想方法有更深刻的认识。

最后，在解题活动中要突出数学思想方法对解题的统摄和指导作用。对于今后可能碰到的一些复杂性、综合性或是生疏题目时会有很大作用，因为题目是千变万化的，方法却是高度概括精炼过的，相信一定有一种或是几种思想方法对解决该类问题提供一个突破口，由此打开问题的解决途径。加强对解题的指导和训练是数学思想方法教学的又一个重要方面。