提高学生思维能力：高中数学教学实践效果分析

（一）运用变式教学，培养思维的发散性

变式是指对数学概念和问题进行不同角度、不同情形的变换，凸显概念的本质属性和清晰的外延，突出数学问题的结构规律，揭示知识的内在联系。变式练习是指把上述变式材料以书面作业的形式提供给学生，学生在完成作业的过程中，通过多角度的分析、联系、比较，把握概念的本质属性，掌握问题的恰当分类以及相应的解题方法。变式练习包括“问题变式”和“概念变式”。变式，需要我们多角度地思考问题、多途径地解决问题，是一种不断地深入探索问题的方法。组织变式训练，可以使学生的思路逐渐开阔，从而培养学生思维的发散能力。

1.问题变式

问题变式是指对数学问题的“表层结构事实性内容”多层次的变式构造，凸显其“深层结构（数学结构）”，内容包括一题多变、一题多解、一法多用等。

（1）一题多变，启发思维发散

A.双曲线　B.双曲线右支　C.双曲线左支　D.一条射线

由变式1的分析，我们可以得到变式2应选择C。

变式3中的方程仍表示动点（x，y）到两点（-3，0）和（3，0）的距离之差为定长5，此时6=3+3，那么点（x，y）只能落在（-3，0）和（3，0）连线上，又由于（x，y）到定点（-3，0）的距离比较大，由此判断点（x，y）组成图形是以（3，0）为端点的一条射线，此变式选D。

由变式的分析，我们可以判断变式4中的点（x，y）组成图形是以（-3，0）为端点的一条射线，变此式选D。

变式5中的方程表示动点（x，y）到两定点（-3，0）和（3，0）的距离之差为定长d，由于字母d取值不定，需要讨论它的几种不同情况，可见变式5是前几种变式的一个大综合，是对学生提高发散思维能力的一个很好的训练。

变式1、2、3、4通过对原题中条件的不断变化，引申拓展，产生了一个个类似却有本质区别的问题，促使学生对双曲线的概念进行更深层次的挖掘和更深更广的理解，“变”的魅力深深地吸引着学生，使他们在探索问题的过程中体验到“成功的喜悦”，从而产生兴趣，同时启发了他们思维的发散性。

（2）一题多解，训练思维发散

教师引导学生从不同的角度、侧面、层次，运用不同的知识和方法解决同一问题，在这种解决问题的过程中力求有所发现、有所创新，从多种不同的解法中，权衡各种方法的可取之处，展开广阔的思维空间，防止思维定式。

（3）一法多用，强化思维发散

一法多用即同一个方法解决多个问题，具体来说运用解题思路，改变题目的条件或结论，使所学方法得到最广泛的应用，而不限制在一个小范围内就事论事的解题；这样，不但显示出此方法的强大，同时会促进形成学生思维的发散性。

2.概念变式

数学概念是数学大厦的基石，是反映一类事物本质属性的思维模式，具有相对独立性。在讲授一个新的概念时，将概念还原到客观实际（包括变式题组）中，通过实例、模型或已有的经验等进行引入，通过变式移植概念的本质属性，使实际现象数学化，达到展现概念形成过程，促进学生概念形成的目的。概念变式具体分为辨析与深化两种变式形式。在教学中，多组织一些概念变式题组来加深学生对概念的正确理解，能够有效培养学生的思维品质。

例如，判断以下命题是否正确：

（1）不相交和不平行的直线就是异面直线（　）。

（2）空间两条不相交的直线成为异面直线（　）。

（3）分别在两个不同平面内的两条直线是异面直线（　）。

（4）不同在一个平面内的两条直线称为异面直线（　）。

在学习异面直线概念后，通过以上四个概念变式，学生会更加清晰原概念的内涵与外延，更深刻地认识异面直线概念的本质。

（二）克服思维的肤浅性，培养思维的深刻性

学生经常满足于一知半解，对概念不求甚解，做练习时，照葫芦画瓢，不去领会解题方法的实质，这反映了学生在思维上的惰性。学生思维的惰性还表现在定型化的推理上，按习惯推理，不做深入思考，造成丢三落四的现象。克服学生思维的惰性，主要是克服学生思维的表面性与绝对化，培养学生思维的深刻性，主要是培养学生在学习过程中不迷恋于事物的表面现象，引导学生思考事物的本质，学会全面认识事物，而不被假象所迷惑。如何克服思维的肤浅性，达成思维的深刻性呢？具体有以下三种方法。

1.通过对比教学，加深对概念的理解

很多数学概念彼此之间既有联系，又有区别。学生很容易产生混淆与错觉，不能明确概念的本质。在教学中，用对比的方法掌握它们之间的联系与区别，又在对比中鉴别它们各自的特点与本质，教师要在这方面多下功夫。从概念的内涵和外延对概念进行对比，使学生明确概念的内涵是什么，有什么不同和相同之处，外延之间有没有交叉，对比清楚了，学生才能对概念理解得深刻，从而才能达成思维的深刻，如正数与非负数、方根与算术根等。乌申斯基说：“比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较了解世界上的一切的。”

（1）求曲线在点（2，4）处的切线方程。

（2）求过点（2，4）的切线方程。

（3）求过点（1，3）的切线方程。

此题把“求切线”放在不同的情境中，通过三次问题的解决并对其进行对比，有时已知点是切点，有时不是切点，有时需讨论是否为切点；再有，“在”和“过”两字对已知点是否为切点也起到了决定性作用。所以，通过对问题情境的差异对比分析，可使学生对问题的认识更加全面、深透，思维更加完备、深刻。

2.加深学生对数学定理、公式、法则的全面理解

在定理、公式、法则的教学中，要让学生完整地掌握它们（包括条件结论和适用范围），领会其精神实质，切忌形式主义、表面化和一知半解、不求甚解。

例如，设集合A={1，a，b}，B=｛a，a2，ab}，且A=B，求实数a，b的值。解：当A=B时，1=a2，b=ab，解得b=0，a=±1或b∈R，a=1；1=ab，b=a2，解得a=1，b=1；经检验，由于集合元素具有互异性和无序性，可得a=-1，b=0。

此题若只是肤浅、片面地从已知条件入手，题虽可解，但不完整，因为忽略了隐含条件，即集合的互异性和无序性，这是在最初学习新知识时过于表面理解，而没真正领会其精神，一知半解造成的。

3.通过开放式教学，加深理解数学问题的本质

新课程改革给一线教师带来了全新的教学理念，教学过程更注重“沟通、理解和创新”，学习不可把知识简单机械地装进学习者的头脑中，要重视对问题进行分析、思考及归纳总结的过程，才能把知识变成自己的“学识、主见及思想”，并能应用到未来的学习和生活中。开放式教学走进数学课堂，整合传统的教学模式，实现师生双方交流、沟通，是提高学生分析、思考及解决问题能力的有效途径。数学学科的“开放”，包括数学教学内容、学生数学活动和学生与教学内容之间相互作用等几个方面的开放。具体来说，教师要尊重学生的主体地位，发挥学生的主体作用，引导学生积极主动地参与教学过程，才能促进学生探究数学本质的思维活动。

例如，在“y=Asin（ωx+φ） 图像变换”这一节的教学中，笔者曾采用了开放式教学，在给出A、ω、φ确定数值的几个引导性题目后，让学生以小组为单位进行实际画图操作，并协助他们自己总结出A、ω、φ在函数图像变换中所起的作用。在这样一个教学过程中，不仅激发了学生学习数学的兴趣，同时使学生在这种开放式教学中主动参与了动脑、动手、动口的思维活动，进而开发了学生思维的深刻性。

（三）克服思维的呆板性，培养思维的灵活性

教师在教学中，过多地或片面地强调程式化和模式化，容易造成学生只能套模式解题，思维呆板。注入式的教学导致学生缺少应变能力。思维的灵活性主要表现在善于迅速地引起联想，建立自己的思路，同时又能根据情况的变化，善于进行自我调节，及时地和比较准确地调整原有的思维过程。

1.启发式教学，打破思维定式的消极影响

例如，△ABC中，如图2-1所示，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，证明：余弦定理a2=b2+c2-abcosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC成立。

图2-1

分析：面对余弦定理比较繁杂的表达式和题目中寥寥无几的几何条件，起初一定会让学生感觉无从下手；此时，如果教师直接给出解题的方式方法，相信学生一定能理解认同这个证明过程，但为什么这样证明，怎么想到的，以及再碰到类似问题需要学生独立思考解决时，可能学生还是会觉得无从下手，因为他并没有学会解决这个问题的思维过程，即如何去“想”。教师宜采用启发式教学，启发学生自己思考并解决问题，将对培养学生思维的灵活性有很大帮助。

师：题目的已知图形、条件和结论似乎很难有什么连结点，别着急，仔细观察余弦定理的形式，它虽然繁杂，但有没有你觉得熟悉的地方，在没任何明确的思路之前，大家可以大胆地猜想，也许能构造出不一样的解题思路。

（余弦定理是高中解三角形的知识，在解三角形第一课时引入新课时，笔者曾带着学生先详细复习了初中解直角三角形的概念、具体方法等，其中有学生非常熟悉的勾股定理a2+b2=c2或c2+a2=b2，b2+c2=a2。）

生A：老师，我觉得余弦定理的分子形式有点像勾股定理。

（此话一出，引起了很多学生的共鸣。）

师：嗯，能说得具体一点吗？

生A：可以把勾股定理整理成a2+b2-c2=0或c2+a2-b2=0，b2+c2-a2=0的形式，等式的左边就是余弦定理的分子。

师：非常不错的想法！它们形式很像又同在解三角形这章中出现，说不定真有什么好的联系，帮咱们找到证明余弦定理的突破口。

师：接下来呢？我看了结论，找到一个突破口，试着从这个思路往下想，我们还能想到什么吗？

生B：老师，我想到了条件还没用，我想在△ABC中做CD⊥AB（如图2-2所示）。

师：哦？为什么会有这个想法呢？能说给我们大家听听吗？

生B：因为我们刚刚想到的勾股定理只能是在直角三角形中用，所以在原三角形中作高就可以出现直角三角形，就可以用勾股定理了。

师：非常棒啊！你帮大家又往结论迈了一步，我们可以试试看了。

图2-2(www.xing528.com)

（在生A、B给出了一些思路后，部分学生也跃跃欲试地积极思考问题，为了调动更多学生的积极性，教师让其他学生继续生B的想法。）

师：有没有谁能继续完成生B的想法？

生C： 在Rt△BCD中，a2=CD2+BD2①； 在Rt△ACD中，b2=CD2+AD2②。

师：很好，你注意到了在做出一条高以后构造出两个直角三角，可以写出两个勾股定理。那么，接下来怎么处理这两个等式呢？

师：请大家再次观察结论中余弦定理的形式，对比一下我们目前得到的两个等式，你会有什么想法？大家也可以一起讨论一下。

生D：经过我们仔细研究，觉得让①-②可以消去在结论中不需要出现的线段，得到a2-b2=BD2-AD2。

生E：可以接着把BD=c-AD带入这个等式，就又可以消掉一个结论中不需出现的线段BD，得到a2-b2=（c-AD）2-AD2=c2-2c×AD。

师：大家实在是太棒了！现在跟结论已经很接近了，就只差一条线段AD了，该如何转化才能更接近结论呢？

生F：在Rt△ACD中，AD=b×cosA，带入等式就可以完全用已知条件表示了。

师：非常好！

生：老师，我们会了，代入整理就行了。a2-b2=c2-2c×AD=c2-2c×bcosA，即a2=b2+c2-2bccosA。

解题过程是在教师引导下师生共同参与的活动过程，学生的思维得到了充分的调动，在信息不断交流的过程中，师生的思维得到了充分的展现，并在不断反馈、不断调整的过程中优化了思维过程。

2.灵活运用条件，提高运算的简捷性

在教学上让学生解决问题有时并不困难，困难的是让学生能够灵活运用条件达到简便、快捷地解决问题。这需要思维的灵活性，这也是思维的重要品质之一。这种灵活性突出表现在能否找到更有效、更快捷的解题方法，是否能从已知因素中挖掘出新因素，从隐蔽复杂因素中寻出问题的本质，从而巧妙地从一种解题思路转换成另一种更快捷有效的解题思路。因此，教师可以运用发现法让学生在观察中发现、在发现中思维、在思维中提问和进步。

以上是此题的三种不同解法，解法一最常规、最好想，但运算起来比较麻烦，需要解二元二次方程组，还要检验再舍去一组，才能得到正确答案；解法二利用了切化弦的解题思路，还需用同角三角函数关系，将已知方程转化成一元二次方程求解，最后还得想到如何舍去一个，此法不好想也不好解；针对一道填空题，解法一、二的解题思路显得繁而慢，而解法三是最巧妙的一种解法，由于填空题不需过于严谨的演算证明，直接从所熟悉的勾股数去构造已知方程的形式，非常有效、简捷地得到结果，给人眼前一亮的感觉。这都需要运用讨论、开放式等教学方式，促使学生把问题进行更深刻的挖掘，让思路更加开阔，再运用练习法巩固成果，才能不断发展学生的观察分析能力，使思维敏捷、灵活而深刻。

（四）在探究型课堂中，培养思维的批判性和独创性

学生在学习中出现各式各样的错误是不可避免的，心理学家盖耶说得好：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富有成效的学习时刻。”错误是正确的先导，是通向成功的阶梯，学生在学习过程中的错误应该被看成一种尝试和探索的过程。教学中要及时抓住这个宝贵的时机，有效地变学生的错误为促进学生发展生成的有效资源。在这种情况下，如果教师处理问题过于简单化或直接帮学生指出错误的原因，或者以自己的思维方式给学生一个正确的解题方法等，这些学生可能能明白，但印象并不会深刻，有时还无助于学生“吃一堑长一智”，无助于学生对问题本质的理解。因此，教师在教学中经常提供一些学生存在共性的问题给学生，给他们留有反思交流的机会，通过反问、讨论、辨析、质疑等方法充分暴露学生的思维过程与解题策略，不仅有利于锻炼学生思维的灵活性、广阔性，还有批判性和创造性。

分析：这是一道典型的用正弦定理求解两边一对角的题目，在刚刚学完正弦定理后，在学生眼里它是非常容易求解的问题。

师：好，基本定理已经掌握了，其他同学同意他的说法吗？

（大部分学生表示赞同，但有个别学生眉头紧锁，似乎有异议。）

生B：老师，我觉得结果有些问题。

（大家诧异了，怎么也没想到会有人对“想与算”都很简单的此题有异议。）

生B：我觉得结果还可以有150°。

师：哦？能说说理由吗？

（没等生B的话说完，就已经有学生如梦初醒般发现还真是丢掉一解了。）

师：恩，很好，目前出现两种情况了，生A认为一解，生B认为两解，大家觉得谁的对呢？

（由于生B的解释字字有理，班里的学生发生大转换，一面倒向了生B，不过生A还是有些不服气，似乎还在那里思索着。）

师：墙头草两边倒啊？这样吧，别轻易下结论了，再给大家5分钟，前后位同学一起再思考、商量一下，仔细考量这道题，结果到底是什么？到底应该支持谁呢？

（学生4人一组开始了热烈的讨论，5分钟左右，班里渐渐安静了。）

师：怎么样？有最终结果了吗？支持生B的同学请举手；恩，绝大多数同学还是很支持生B，相信是和他一样的理由；好，还有几个小组没举手，那就是支持生A喽？出个代表，给大家说说理由好吗？

生C：老师，我们组认为还是生A的结果对，就只是一个解30°，只是我们的理由和生A不完全相同。

（班里同学都很安静，非常注意听着，尤其生A、B。）

生C：正弦定理的计算结果，生B说得对，应该是两个30°或150°，但还没完，三角形里有“大边对大角，小边对小角”，因为边a＜b，所以角A＜B，A＜45°，角 A 只能等于 30°。

（“大边对大角，小边对小角”这个定理，早在“解三角形”这章节第一课时引入时就已复习过了，经过生C的提醒，大家终于想到了这点。）

师：非常好，想法更加全面深入了，不知大家现在又支持谁了呢？

（这次大家全体异口同声，再没有异议地选择了生C。）

随着深入学习，我们会发现这其实是一类问题——正弦定理求解两边一对角不定解问题，即对于任意给出的三角形中两边一对角a，b，A时，是需要经过sinB正弦值、原角A、“大边对大角，小边对小角”三个步骤依次进行检验才能得到最终的解的个数。上述例题作为一道基础题，教师在引导学生不断地修正自己的思维过程中，真正让学生参与课堂的全过程：问题让学生去发现的，方法让学生自己去归纳总结的，重点让学生自己去探究的，难点也是学生自己去突破的；即使在某个环节中出现错误，教师积极调动学生继续思考，并不急于纠正，让大家一起去找错误的根源。这种引导既能给学生提供探究的方向，有助于训练学生思维的批判性和独创性，也很好地考查了学生思维的深刻性和全面性，并为进一步的学习解决这类问题做了很扎实的铺垫。