高中数学基本理念思考与实践教学：数学思维和实践

（一） 思维

在心理学中，思维的定义为：“思维是人脑对客观事物的间接和概括的认识过程。它是在感知的基础上，利用脑中储存的知识经验，通过客观事物的表面现象，对客观事物的本质与内在规律进行间接概括的认识过程。”思维具有以下明显的两个特征。

1.概括性

在数学教学中，经常通过练习题巩固所学知识的概念、定理、法则等，为了避免大量耗费时间和精力，这些练习题都应由教师精心挑选出最为配套的，这就需要教师具有高度的概括性思维——这类数学知识和方法都具备什么共同的本质特征并以此选择对应练习；学生在这样的练习题进行思考、实践、反思、总结的过程中，对这部分知识和方法也能形成和教师一样的概括性思维，即发现它们的共同本质特征，有助于以后更好地理解相关的或更深层次的问题，并能良好地运用所学知识和方法。

2.间接性

思维是人脑对客观事物的规律、特性的一种反映，所以思维不能是直接的，需要媒介来反映客观事物；人们生活的时间、空间有限，所见所闻有限，于是不能直接感知和认知所有事物；举一反三、由此及彼、闻一知十、由近及远都是思维间接性特性的表现。

（二） 思维的基本规律

人的思维对客观事物的反映遵循两条基本规律：反映同一律和思维相似律。二者在具体问题的解决过程中是相互渗透、共同作用的。数学思维在实质上就是思维同一性的推演和思维相似性探求的有机结合。

1.反映同一律

思维科学中的反应同一律是指对同一事物的特性而言，人的理性反映和客观事物之间必须保持同一，不能矛盾；对这个事物的不同映象之间，在同一时间，从同一方面进行考察时，必须保持质的同一。它要求正确的思维必须如实地反映客观，在思维过程中保持思维对象的同一，保持思维所反映的质的同一。

在数学思维中，反映同一律是必须遵循的基本规律之一，如数学中有关公式的恒等变形、方程的同解变换、数形之间的等价转换、有关命题的等价关系等。在数学教学中，最常见的一类问题——证明题，它的思维过程实质上是一个变更问题的过程，即逐步变换问题的表达形式，使问题从给出的初始状态转变为所要达到的终结状态。这个过程的根本思想就是要保持思维的本质的同一，而在想出差异时就需要研究差异的性质。

2.思维相似律

相似律是客观事物发展变化的一个基本规律，简单来说，相似律就是利用不同事物之间的相似规律进行对比分析，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可能存在相同或相似之处的一种思维方式。它以旧有认识作为基础，孕育出新的成果来。当然，利用这种思维方式猜测性较强，不一定可靠，但它却具有发现新事物的功能。

3.思维品质

思维是人脑客观事物规律与特性的一种反映，这种反映的发生和发展是符合一定普遍的客观规律，但个体在思维活动中表现出的特点与到达的效果又不尽相同，思维的这种在不同个体中发生和发展时表现出来的差异性，称为思维品质。在数学教学中，有的学生思维很活跃，与教师配合默契，甚至超越教师课堂的讲授速度而率先理解问题并会运用所学知识，还能有自己独特的解题思路等；而有的学生则表现为反应慢，注意力不专注，对所学知识和方法只能简单机械地模仿，甚至不能跟上教师的讲授速度，更谈不上良好地运用所学知识和方法，这就是由个人思维活动中表现出的数学思维品质的差异。思维品质包括五个方面，即思维的发散性、思维的深刻性、思维的灵活性、思维的批判性、思维的独创性。它们是确定整体思维水平与个体之间差异的重要指标，是我们培养学生思维能力的教学出发点，也是检测教学效果的重要测试指标。

（1）思维的发散性

即思维的广度，是个体思维活动中所涉及内容的广泛和全面的程度。一方面，遇到具体问题时多角度观察、思考问题，多方面发现问题的规律与联系，多途径解决问题，并将得到的方法和理论推广到类似问题中运用，如数学中的一题多解、一法多用；另一方面，将已知的优秀的方法和理论放到更广范围中去实践检验，使其更大范围地被利用。例如，数学中的数形结合法不仅在函数上能很好很快地解决问题，在概率等知识的学习中也起到了良好的解决问题的效果。

思维有发散性，思维也有狭隘性。思维狭隘的个体往往不能摆脱已有知识、方法、理论的束缚，造成思维定式、思路不通、以偏概全等现象，导致不能很好地、正确地解决问题。

（2）思维的深刻性

即思维的深度，是个体思维活动中抽象逻辑性的准确程度和深刻水平。它表现为深入思考问题，细致分析问题，不放过任何蛛丝马迹来钻研探索复杂问题背后的本质属性，它能很好地克服思维表面化、绝对化和不求甚解的不良特征。要使学生最终能攻克复杂的综合性大题，就要从高一起始阶段不间断地努力培养学生深刻的思维。

思维有深刻性，思维也有肤浅性。例如，对概念一知半解，对定理考虑不周，易受问题背景的干扰，不能抓住问题本质等都属于思维的肤浅性。

（3）思维的灵活性

即思维活动的灵活程度，是个体智力和能力的灵活迁移程度。它具体表现为当问题发生变化时，个体能随着具体问题的改变随时调整思维分析过程的方式方法，从更新的角度看待思考问题，采用更新更适合的办法和方案去解决这个问题。大科学家爱因斯坦把思维的灵活性看成创造性的典型特点。在数学思维活动中，主要表现在五个方面：思维的起点灵活、思维过程灵活、复杂问题中概括迁移的灵活性、组合分析灵活、思维结果灵活。(www.xing528.com)

思维有灵活性，思维也有呆板性。例如，有些学生能简单机械地模仿教师的解题步骤，导致在遇到同型不同题时不能举一反三，使问题不能很好地被解决。

（4）思维的批判性

即思维的独立性，是个体思维活动中独立分析问题与批判问题的能力高低，是个体自我意识高度体现的集中性反映。它具体表现为独立思考问题，质疑问题，严格辨析问题，客观评价问题，及时发现错误，大胆纠正错误。在数学教学中，师生都应善于客观严格地在各自的教与学中大胆地、不断地进行问题的反思和经验的总结，并将其及时纠正，否则只能停滞不前，最终影响教学效果。

思维有批判性，思维也有盲从性。在数学教学中，有些学生只会盲从教科书和教师的传授与讲解，完全没有自己独立的思维判断，人与亦云，不利于培养独立思考问题的良好习惯，不善于分析问题，那么在遇到其他问题时，也就无从下手。

（5）思维的独创性

即思维的创新程度，是思考问题的角度不同，分析问题的方式新颖，解决问题的方法独特，具有大胆的创新意识，是智力的高级体现形式。在数学教学中，学生能先教师一步，通过快速的观察与分析独立发现问题所在，并能打破常规，勇敢地提出解决问题的方式方法，并敢于接受真理的挑战，无论结果正确程度如何，在这个不断独创的思维过程中历练了思维的品质，使其不断提高，最终形成良好的数学思维能力。

数学思维品质的发散性、深刻性、灵活性、批判性和独创性不是孤立的，而是统一的，是相辅相成、紧密联系的一个整体。深刻性是基础，灵活性与独创性是在稳固深刻性的基础上而发展出来的高级思维品质，越深刻地理解分析问题，成功灵活地迁移的可能性越高，效率越高，于是独创性也就越强。同时，批判性也是在稳固深刻性的基础上发展起来的另一思维品质，认识越深刻，分析越全面，思考越周密，决策越迅速，判断越准确，反思越到位，下一次或是下一个问题的认识判断越准确。发散性也是灵活性的基础，狭隘的思路很难成功灵活地迁移问题、解决问题；有了深刻性和灵活性才能谈及批判性，深刻性和灵活性使得个体更能洞察问题的本质属性，摆脱思维定式，及时客观地发现问题所在；有了发散性、深刻性、灵活性与批判性，才能触及独创性。

（三） 数学思维

1.数学思维的含义

数学思维是人脑对客观事物的数量关系和空间形式，间接的、概括的反映，是一种用文字和符号构成概念、判断、推理的心理过程。当学生面对一个具体数学问题时，在解决问题的动力驱动下，搜寻问题提供的已知信息，有时是条件，有时是结论，也或者是图形，对它们进行一系列的直觉感知、接受，并将其熟知部分予以攻破，不熟知部分利用大脑对其进行有效分析，进行工作记忆，在解决探索问题的过程中取得成功后，进行整理表述，对这样产出的结果进行最终检验，此过程的最终结束也标志着数学思维过程完成。

数学思维是思维的一种，首先具有思维的一般特性，其次具有不同于一般思维的独特性质。例如，在数学及其研究过程中，作为数学思维载体的简约数学语言和数学符号的抽象性、结构特征性等都决定了数学思维的独特特性，如整体性、严谨性、问题性、相似性等。

2.数学思维的种类

按照思维活动的总体规律，数学思维通常可分为数学直觉思维、数学逻辑思维、数学形象思维。

（1）数学直觉思维

数学直觉思维是在大量基础知识和实践经验的基础上，在初期遇到数学问题时，对其整体观察后，瞬间产生的一种非逻辑判断的对该问题的某种本质特征的认识，是灵感的闪现，是迅速的、下意识的一种判断，对解决问题的进程有一定的指向性。数学直觉思维不是逻辑的，但具有整体性、直接性、不可解释性、或然性等重要特征。

（2）数学逻辑思维

数学逻辑思维不同于数学直觉思维，它借助已知的数学概念、定理、公式进行一系列的判断、推理、论证等思维过程，其中对比、抽象、分析、概括、综合、（完全）归纳、演绎等为思维过程中的主要数学方法，并要求运用数学语言和数学符号来反映数学问题本质规律的一种思维，它具有抽象性和逻辑性的特征。数学问题本身就需要按照一定的理性逻辑来推理和论证，整个过程具有严谨的逻辑体系，同时这些推理和论证过程所需的数学概念、定理、公式的叙述是抽象的、概括的一种叙述形式。另外，逻辑思维有着严格的逻辑规则，它的基本规律和辩证逻辑的规律是逻辑推演法和规则法，它们是逻辑思维区别于其他思维的重要特征之一，在这种强大的逻辑推理过程中促使人们不断实现新的突破，形成新的知识，提高思维成果的可靠性。

（3）数学形象思维

数学形象思维是个体根据客观实物的表象进行的一种思维活动，它的基本形式是表象和想象，其中表象又是数学形象思维的基本元素，它的主要方法是猜想、联想、类比、观察与实验，以此个体对客观实物的具体表象材料进行有意识的加工获得领会的一种思维方式。

首先，数学表象是对客观事物的形体特征或形式结构抽象的、概括的观念性形象。例如，数学中各种函数图像、统计图表、几何图形、数学概念、语言、符号等都是数学表象，它们是理想化的带有一般性的数学形象。

其次，数学想象是个体在搜集大量的客观事物的表象后，运用已有的数学知识、思想和方法对其搜集的丰富表象进行加工整理，创造出新的数学表象的一种重要的数学想象思维形式，具体可分为再造性想象和创造性想象两种。数学中的再造性想象是指个体依据已有的数量关系与几何形式的语言文字描述或图形的展示，创造出新表象的思维。创造性想象不依赖已有的数量关系和几何形式的语言文字描述或图形的展示，而是根据一定目的、任务与理论，独立地创造出新表象的思维。著名数学家欧拉双目失明，通过再造想象仍能对世界数学事业提供种种贡献；著名数学家笛卡儿借助对于曲线上“点的运动”这一数学想象，创立了解析几何，可见数学形象思维在创造性数学中起到了巨大作用。

由此，高中数学教学中应努力培养学生的这三种基本数学思维能力。此外，运算能力是逻辑思维能力的一部分，是它与运算技能相结合的产物；空间想象能力是形象思维能力的一部分，是它与几何形式相结合的产物。逻辑思维和形象思维是主体，主体水平的提高为直觉思维的发展提供了坚实的基础。