数学理解力：技术性的理解，开启新世界

这种摆脱了感性的外在推理有它的代价，那就是丧失直观。圆锥曲线运动被分解为两个直线运动的综合，这有助于计算。但我们看到的是一个单一的曲线运动，而不是两个直线运动。我们的自然理解始终依赖直观，数学语言则迫使我们进入一种新的理解，这里要求的是“数学理解力”，这是一种特殊的理解力。

一项原理被分解成了若干基本的逻辑步后，一位初学者也可以对照演算规则逐步检验整个证明是否正确。他无须对该原理有什么理解。学习数学和逻辑演算所需要的理解体现在另外一个层面上，在这里，有所理解大致是说，一个学生明白这个问题为什么可以分解为这些逻辑步，换言之，他明白这些分离的逻辑步为什么合在一起就证明了该结论。因此，他能收到举一反三之效，把另一个问题分解为和这些逻辑步对应的东西，从而一步步加以证明，或者能指出某一证明过程中出现了缺陷、错误。基于这种理解，他甚至还可能提出对某一证明过程加以简化或改进的方案。

笛卡儿赞叹几何学证明是那样简单易解，然而齐曼却另有高见：“数学推理的实质是它的每一小部分很容易理解，而合在一起则很难理解。”^[53]一小步一小步的理解在技术性上构成一个总体的理解，但那不是直观意义上的整体理解。数理演算的理解与理解一个哲学命题、理解道德准则、理解一首诗是大不相同的理解，任何一个被要求去修一门理科的文科学生都会有强烈的体会，反过来，只习惯数理理解的学生可能觉得诗或哲理十分难解。

数学理解，我会说那是一种技术性的理解，一种通过专业训练培养起来的理解。你不理解前一个定理，就无法理解下一个定理。读亚里士多德的《物理学》也需要有所准备，需要一般的良好理解力，还需要认真耐心的阅读习惯、对希腊文化的一般了解，还得有点儿想象力，但你不需要什么技术性上的准备。你认真阅读了，你会有或深或浅的理解，无论深浅，这些都是直接的理解。“理解”这个词就包含着直接性。通常理解不是按照固定的代数法则演进，各种理解互相渗透。对亚里士多德来说，无论是研究物理还是研究动物还是研究城邦，都是要增加对世界整体的理解。技术性的理解却不是这样，我可以在某一领域达到极高的数学理解，但我却缺乏对其他事物的一般理解。

在技术性统治的时代，数理类型的理解被视作最高的理解，这不啻颠三倒四。在数量关系中，感性内容被清洗掉了，而我们平常所谓理解，始终是包含着感觉的理解，可以说，越富有感觉，就理解得越深厚。数学固然可以在一个抽象的意义上描述物质的结构，并且得出正确的预言，但是我们却不能通过数量来直接理解这个世界。前面说到，虽然希腊人的数学相当发达，但亚里士多德在物理学中却几乎不使用数学。这一点反映了亚里士多德所理解的哲学-科学是在何种意义上寻求世界的真理。古代哲学-科学之寻求真理，是在寻求一个可以被理解的世界。这个“理解”，是指蕴含丰富感性的理解，这是数学所不能达到的。前面说到，现在，各门学科，包括社会学科甚至人文历史学科，都在争先恐后引进数学模式，以便成为真正的科学。经济学比社会学、政治学更科学，因为它包含更多的数学硬核。在近代的意义上，经济学也许越来越科学，但从希腊的哲学-科学来看，经济学对人的经济活动和社会活动越来越无所理解。

自然理解才是本然的因此也是最深厚的理解。如卢瑟福所说，如果我们不能以一种简单的非技术的方式解释一个结果，我们就还没有真正弄懂它。据大卫·L.古德斯坦和格里·纽吉堡尔说，费曼曾打算给大学一年级学生开一次讲座，解释自旋等于1/2的粒子为什么服从费米-狄拉克统计，后来他放弃了这个打算，费曼说：“我没法把它简化到大学一年级的水平。这意味着实际上我们并不理解它。”^[54]

法拉第曾写信问麦克斯韦，他是否能用普通语言来表达其数学工作的结论，以使非数学家能够理解他的工作并因此受益。克莱因在引述这封信后说道：“遗憾的是，法拉第的这个要求直到今天仍得不到满足。”^[55]这是当然的，我们一开始采用数学语言，就是因为它不受自然理解的束缚，通达某些我们由于感性限制所不能了解的真实。数学语言的长处和短处是一个硬币的两面。数学语言之所以适合于长程的严格推理，恰因为它不受弥漫感受性的约束，恰因为它不是由感觉（意义）引领进行推理的。如果数学语言充满了意义，它将失去它的根本长处，即可借以进行长程的严格推理。

数学描述完美符合定义的抽象的存在，但这个存在却被剥夺了其他属性。这是反对把数学应用于社会科学的最基本的理由之一。齐曼问道：IQ相加的算术运算能有什么意义呢？87+133=110+110在智力范围内没有对应物。^[56]塔西奇直白说：“图灵机这种抽象的计算机被专门设计来捕捉我能够计算的所有对象，但不是我能够做的所有事情。图灵肯定没有把他的模式运用到对人类婚庆仪式的详细研究之中。”^[57]就像语言不能穷尽我们身处其中的世界的生动与丰富，数学语言触及不到很多日常事实。它就事物之可测量的维度加以述说。数学的普遍性绝不是数学的普遍适用性，例如，“对于探讨科学的实际变化的历史学家来说，数学是一个不良先例，一个无论如何都不能推广的例子。”^[58]

回过头来看，声称数学具有普遍性是浮面之见。数学的确建立了某种普遍的联系，然而它破坏了另一种统一的联系。我们在数字中看到了炮弹、地球和行星运动的一致性，而不是在感觉、经验之中。世界不再是统一到人的象中，而是统一到数字中。^[59]如柯瓦雷所言，感性的世界瓦解了，代之以“理智的统一性”，^[60]库恩应和道：“最后，分崩离析的亚里士多德宇宙被一种全面而融贯的世界观所取代，人类自然概念的发展进入了新的篇章。”^[61]

【注释】

[1]T.丹齐克，《数——科学的语言》，苏仲湘译，上海教育出版社，2002。

[2]迪昂，《物理学理论的目的和结构》，李醒民译，华夏出版社，1999，121页。

[3]M.克莱因，《西方文化中的数学》，张祖贵译，复旦大学出版社，2004，243页。

[4]转引自网上Stanly L.Jaki，A Late Awaikening to Gödel in Physics.

[5]转引自马祖毅.《中国翻译史》，上，湖北教育出版社，1999，474页。

[6]M.克莱因，《西方文化中的数学》，张祖贵译，复旦大学出版社，2004，前言第6页。

[7]柏拉图，《国家篇》，525b、527b。这里采用的是王晓朝的译文，见《柏拉图全集》，王晓朝译，人民出版社，525页、527页。

[8]《左传·僖公十五年》。

[9]李零，《中国方术考》，第二版，东方出版社，2001，35页。

[10]董仲舒，《春秋繁露·同类相动》。

[11]薛定谔，《自然与古希腊》，颜锋译，上海科学技术出版社，2002，38—39页。

[12]文德尔班，《历史与自然科学》，载于洪谦主编，《西方现代资产阶级哲学论著选辑》，商务印书馆，1964，60页。

[13]莱昂·罗斑，《希腊思想和科学精神的起源》，陈修斋译，段德智修订，广西师范大学出版社，2003，61页。

[14]4或正方形代表正义这一观念通过square这样的语词保留到现在。

[15]“4”和正义不是单纯现象相似意义上的相似；“4”是两个平等的数的乘积，自乘和互相酬报在概念上亲缘。总的说来，在毕达哥拉斯学派那里，数与现象的对应更多是结构性上的对应。张祥龙在《数学与形而上学的起源》一文中多次强调了这一点：毕达哥拉斯借以论证万物与数相似的”最根本的理由是结构性的”，”在西方传统形而上学的主流唯理论的开端这里，〔也〕有一种结构推演的精神在发挥关键性作用”。张祥龙，《数学与形而上学的起源》，载于《云南大学学报》，2002年第二期。这一点判定了，从理论形态上说，毕达哥拉斯理论比五行理论要成熟得多。

[16]《庄子·渔父》。

[17]伊恩·斯图尔特，《自然之数》，潘涛译，上海科学技术出版社，1996，98页。

[18]林德伯格，《西方科学的起源》，王珺等译，中国对外翻译出版公司，2001，91页

[19]史蒂芬·巴克尔，《数学哲学》，韩光焘译，肖阳校，三联书店，1989，114页。

[20]斯科特，《数学史》，侯德润、张兰译，广西师范大学出版社，2002，69页。

[21]斯科特，《数学史》，侯德润、张兰译，广西师范大学出版社，2002，84页。

[22]许倬云，《中国文化与世界文化》，贵州人民出版社，1991，82页。

[23]许倬云，《中国文化与世界文化》，贵州人民出版社，1991，85页。印度古代的数学我一无所知。而就我所知，中国古代数学如《九章算术》及刘徽注中都包含有抽象证明。但若以《几何原本》来衡量，仍可认为以上史家的断论大致成立。

[24]E.A.伯特，《近代物理科学的形而上学基础》，徐向东译，北京大学出版社，2003，77页。

[25]M.克莱因，《西方文化中的数学》，张祖贵译，复旦大学出版社，2004，107页。

[26]S.温伯格，《终极理论之梦》，李泳译，湖南科学技术出版社，2003，5页。(www.xing528.com)

[27]M.克莱因，《西方文化中的数学》，张祖贵译，复旦大学出版社，2004，184页。

[28]海德格尔，《近代科学、形而上学和数学》，孙周兴译，载于《海德格尔选集》，下，上海三联书店，1996，856页。

[29]斯科特，《数学史》，侯德润、张兰译，广西师范大学出版社，2002，114页。

[30]迪昂，《物理学理论的目的和结构》，李醒民译，华夏出版社，1999，22—23页。所讨论的段落参见英译本，Duhem & Pierre，The Aim and Structure of Physical Theory，Princeton University Press，1954，19—21页。

[31]同上书，127页。

[32]这一点下几章将继续阐论。

[33]约翰·亨利（John Henry），Scientific Revolution and the Origins of Modern Science，Palgrave Macmillan，2001，15页。

[34]罗杰·牛顿，《何为科学真理》，武际可译，上海科技教育出版社，2001，128页。

[35]M.克莱因，《西方文化中的数学》，张祖贵译，复旦大学出版社，2004，319页。

[36]斯宾诺莎，《笛卡儿哲学原理》，王荫庭，洪汉鼎译，商务印书馆，1980，15页。

[37]康德，《自然科学的形而上学基础》，载于《康德著作全集》，李秋零主编，中国人民大学出版社，2005，第四卷，479页。（在这个全集本中，《自然科学的形而上学基础》译为《自然科学的形而上学初始根据》。）

[38]科恩，《科学中的革命》，鲁旭东、赵培杰、宋振山译，商务印书馆，1999，243页、245页。

[39]乔治·威廉姆斯，《适应与自然选择》，陈蓉霞译，上海科学技术出版社，2001，28页。

[40]托马斯·克伦普（Thomas Crump），《音乐的结构及其数字人类学根据》，郑元者译，载于《杭州师范学院学报》，2005，第六期，89页。

[41]见斯蒂芬·科里尼为再版《两种文化》所写的导言，C.P.斯诺，《两种文化》，陈克艰、秦小虎译，上海科学技术出版社，2003，41页。

[42]科学从“硬”到“软“大致是这样排列的：物理学，化学、生物学、经济学、心理学，然后或是政治学、社会学，或是社会学、政治学。所根据的标准有1.高度发展的理论、高度编程化。2.量化。3.对理论、方法、问题的意义，个人成果的意义等具有高度共识。4.理论可做出预测。5.知识老化速度快，表明知识在积累。6.新知识增长快。参见史蒂芬·科尔，《科学的制造》，林建成，王毅译，上海人们出版社，2001，139页和136页。

[43]迪昂，《物理学理论的目的和结构》，李醒民译，华夏出版社，1999，127页。

[44]同上书，150页。

[45]转引自科恩，《科学中的革命》，鲁旭东、赵培杰、宋振山译，商务印书馆，1999，215页。

[46]约翰·齐曼，《可靠的知识》，赵振江译，商务印书馆，2003，20页。

[47]参见黑格尔《逻辑学》第一部第一编第二部分量论，特别参见黑格尔，《小逻辑》，贺麟译，商务印书馆，1980§99—101、105。

[48]卡尔·亨佩尔，《论数学真理的本性》，载于保罗·贝纳塞拉夫/希拉里·普特南编，《数学哲学》，朱水林等译，商务印书馆，2003，454页。

[49]希尔伯特，《论无限》，载于保罗·贝纳塞拉夫/希拉里·普特南编，《数学哲学》，朱水林等译，商务印书馆，2003，226—227页。

[50]迪昂，《物理学理论的目的和结构》，李醒民译，华夏出版社，1999，71页。

[51]笛卡儿，《谈谈方法》，王太庆译，商务印书馆，2005，16页。

[52]大致相当于斯特劳森所说的particulars，多有译作殊相的，但译作殊相似乎不如译作特殊事物。

[53]约翰·齐曼，《可靠的知识》，赵振江译，商务印书馆，2003，22页。

[54]P.R.费曼，《费曼讲物理入门》，秦克诚译，湖南科学技术出版社，2004，前言，16页。我在一篇文章（胡作玄，《爱因斯坦与数学》，载于《中华读书报》，2005.11.30第十五版）中读到，爱因斯坦曾说：“自从数学家搞起相对论研究之后，我自己就不再懂它了。”

[55]M.克莱因，《西方文化中的数学》，张祖贵译，复旦大学出版社，2004，317页。

[56]约翰·齐曼，《可靠的知识》，赵振江译，商务印书馆，2003，17页、165页。

[57]V.塔西奇，《后现代思想的数学根源》，蔡仲、戴建平译，复旦大学出版社，2005，117页。

[58]福柯，《知识考古学》，谢强、马月译，三联书店，2003，211页。

[59]参见陈嘉映，《无法还原的象》，载于陈嘉映，《无法还原的象》，华夏出版社，2005。

[60]柯瓦雷，《牛顿研究》，张卜天译，商务印书馆，2016，19页。

[61]库恩，《哥白尼革命》，吴国盛等译，北京大学出版社，2003，253页。