伽利略与数学：哲学与科学的融合

科学营造自己的概念。这不完全是一个摸着石头过河的过程。营造是在一种总体规划下进行的。科学史家逐一追溯近代物理学中每一个新概念的专利权，这些概念最后在牛顿体系中配置成为一个整体，但牛顿之所以能够具有这么伟大的综合力量，是由于伽利略、开普勒、笛卡儿以及其他很多科学家已经在原则上选择了一个共同的方向。这个方向就是科学的数学化。

伽利略从日常语汇中取用了力、阻力、运动、速度、加速度等等，为它们提供了新的定义。伯特这样描述伽利略的定义方法：他“赋予它们以精确的数学意义，也就是致力以这样一种方式来定义它们，以便于它们能够在数学家们已经熟悉的线、角、曲线、图形等定义的旁边取得其地位。”^[28]笛卡儿把自然的本质规定为由长宽厚组成的广袤，他已经从最根本的存在论上把世界的本质规定为必须由数学通达的东西了。

为了进行定量研究，首先必须对世界进行测量。迪昂在说到偏好模式的科学家时说，他们不去单独考虑和研究所涉的概念，而是利用这些概念的最简单的性质，以便用数来表示它们。^[29]柯瓦雷在《牛顿研究》中详细分析了牛顿的三棱镜实验，指出这一工作的一个典型特点是“进行测量”，并说明何以数学化使得牛顿具有格外的说服力。^[30]

物理学要求其概念尽可能是可操作的，而可操作无非是说，我们能找到某种办法用测量值来定义这一概念，这种测量至少应该在原则上是可能的。我们的自然概念不是为测量而设的，例如日常的自私概念在物理学意义上是不可操作的。不妨说，自然概念本来是些定性的概念。科学面临的一个基本任务就是把这些自然概念转变成可测量的概念。迪昂曾概括物理学理论的四个操作特征。其中第一个是，物理学概念要求它能够令物理性质的每一个状态都和一个符号相应，因此，这个概念标识某种维度（dimension）。^[31]新物理学逐步把它所借用的自然概念转化为量度的维度。为建构理论而新创的概念，例如质量，则一上来就是维度概念。“近代科学的历史就是逐步……把关于光、声、力、化学过程以及其他概念的模糊思想转变为数量关系的历史。”^[32]到今天，离开了数学就无法正确陈述物理学的定律。“物理定律的正确陈述涉及一些很陌生的概念，而描述这些概念要用高等数学。”^[33]

数量化当然不仅是把模糊转变成为清晰，伽利略的加速度概念的主要功能不是把我们平常所说的越来越快越来越慢变成确切的快多少慢多少，它把这个日常的描述说法转变为某种近似于动力学的概念；更重要的是，通过加速度概念，不同类型的现象获得了齐一性，例如，加速和减速由同一个公式来表达，又例如，圆周运动和直线运动之间的区别被消除了，它们之间的区别只在于角动量的数值不同。^[34]从而，曲线运动和直线运动就服从于同样的公式，成为可直接比较的。相反，自然语言中的概念必须安排在互相不能比较的多个客观性平面（planes of objectivity）上。^[35]

事物、属性、现象等等的可测量度不等。本体是不可测量的，性质是多多少少可测量的；长宽高是最适合测量的。通过种种技巧，我们能够测量重量、时间、温度、压力、动量。郁闷、偏好、音色、神性、幸福，这些是不可测量或无法精确测量的。但若要对它们进行科学研究，我们就必须想方设法把它们转变为可测量的概念。在物理学里，正如普朗克所称，物理学家必须测量一切可测量的事物，并且使一切不可测量的事物成为可测量的。而在物理学范式的强大作用力下，我们为了进入科学的圣殿，无论研究什么，迈出的第一步就是测量。我们用体液的涨落来确定爱情的强度，我们用一系列指标来确定某一国家人民是否幸福，GDP或GNP等等都是这种努力的一部分。我们要求每一个概念都必须具有测量标准，我们用论文的篇数、字数、引用率以及很多更为复杂的指标来确定一个思想家是否优秀。

那些可以精确测量的概念成为最重要的概念，那些不可以精确测量的概念成为依附的概念，我们用前者来定义后者、解释后者。于是我们就不难理解为什么事物的性质取代事物本身占据了视野，为什么事物被理解为性质的总和。而各种性质又被区别为第一物性和第二物性，像伽利略所做的那样，所谓第一物性恰恰就是那些可测量的性质。我们也就不难理解为什么笛卡儿把广延视作物质世界最基本的属性。它们最适合测量，这一特点使它们成为最终的解释者。长宽厚是本质的东西，爱与恨是些副现象。

然而，挑选那些表示维度并因而可以测量的概念只是科学概念数学化的一个方面。另一个更加微妙也更加重要的方面是，通过把所使用的概念定义为数学表达式，作者就免除了该概念的自然含义的约束。牛顿在《原理》的定义8的解说中说明，吸引、推斥、（趋向于中心的）倾向这些词，“我在使用时不加区分，因为我对这些力不从物理上而只从数学上加以考虑；所以，读者不要望文生义，以为我要划分作用的种类和方式，说明其物理原因或理由，或者当我说到吸引万中心或者谈到吸引力的时候，以为我要在真实和物理的意义上把力归因于某个中心（它只不过是数学点而已）。”^[36]

实际上，牛顿一向用词谨慎。他当然知道这些语词在实际用法中有不同意义，并且在选词时颇费斟酌，例如他一方面把向心力说成是引力，另一方面又声明“虽然从物理学严格性上说它们也许应更准确地被称作推斥作用”。^[37]把所涉的力称作推力（impulse）、引力（vis attractive）、拖曳力（vis tractoria）、重力（gravity）、活力（vis viva）还是物体的某种固有的倾向，体现了作者对世界的不同看法，对物理世界的不同理解。牛顿在这里所谈论的究竟是推力、引力、拖曳力还是物体的某种固有的倾向或努力（conatu），它们是同一种力还是几种不同的力，关于这些问题，在牛顿之前、同时、之后一直存在剧烈的争论。牛顿自己也一直在苦苦思索这些问题。他最后决定暂时不再纠缠于这些概念的异同，干脆把它们视作一种数学表述。它们也许是不同的物理力，但它们在数量上是恒等的，所以从数学上考虑，它们都是一回事。他说明，他使用“引力”这个词来讨论向心力，因为“这些命题只被看作是纯数学的，所以，我把物理考虑置于一旁，用所熟悉的表达方式，使我要说的更易于为数学读者理解”。^[38]

牛顿在这里专门谈到熟悉数学的读者。但我们大多数人不熟悉数学。自然语言在对我们说话的时候，我们实际上确实“望文生义”。很多科普书都会在“序言”里声明：本书中一个数学公式都没有，或者声明：我将尽量少用数学公式。这无非是表明，只有去掉数学公式普通人才能读懂。然而去掉数学公式之后，就产生了牛顿在这里所说的望文生义，很多科学概念就成了漫画。“求助于直觉或使用通常语言去解释新的以数学为基础的概念或预言……经常是十分有用的……但却不总是正确的，而且有时会严重地误导。物理学普及读物中充满了让读者以为他们已经理解了的伪解释。”^[39]我们有黑洞、空间弯曲、超弦这些概念，电视科普节目上说到超弦，还特别闪出一个大提琴手演奏的镜头。然而，只要稍稍读一点物理学，我们就会明白，这些概念都是数学概念，例如，超弦概念所依赖的超对称并不是直观的对称图形，超对称说的是“如果考虑到量子的自旋，诸自然定律就不多不少只还有一种对称在数学上是可能的”。^[40]数学不是达到这些概念或解释这些概念的辅助方法，而是这些概念的核心内容。除非你通过数学方程来掌握空间弯曲或超弦，否则你就不可能正当地用这些概念来进行思考，你就不可能通过这些概念进行正当的推理。

尽管关于牛顿的用词以及他的真实想法，在牛顿之后又有很长时间的讨论和争论，但渐渐的，这类讨论平息下来了。所争论的问题在数学上并无歧义，这就够了。但我们不能因此认为，牛顿、惠更斯、莱布尼茨这些人都热衷于字词之争。变化的是时代观念，在一个以数学解决为答案的物理学中，关于引力抑或是推力的争论变成了字词之争。

我们刚才说到，和自然语言中的概念相比，科学概念较少偶然性。但毕竟，科学概念是在这个时代或那个时代形成的，是这个科学家或那个科学家定义的，我们无法保证科学语言具有唯一性。然而，数学化消除了科学概念最后残余的偶然性。因为这些概念的最终有效性不在于它们具有何种理解的内容，而在于它们能够在数学上互相换算。

这种做法却留下了一个问题，那就是牛顿不得不放弃“真实的物理的意义”。尽管在用数学原理取代形而上学原理这个巨大转折中牛顿起到了关键作用，但他仍不得不承认“数学的”和“物理的”两者之间的区分。即使今天，人们普遍接受了数学物理，这一区分仍隐隐对物理学的实在性提出质问。

【注释】

[1]G.莱尔，《意义理论》，载于G.Ryle，Collected Papers，第二卷，New York，1971，357—358页。

[2]R.哈瑞（Rom Harre），“The Philosophy of Physics“，载于Stuart G.Shanker主编，Routledge History of Philosophy，第九卷，Routledge，1996，215页。与这一事实相联系的是，物理学是科学的典范。顺便提到，哈瑞在这里说到“哲学分析”，不一定妥当，我将逐步表明，与其说科学家在对基本概念进行哲学分析，不如说他们沿着一个确定的方向对基本概念进行重构，

[3]科恩，《科学中的革命》，鲁旭东、赵培杰、宋振山译，商务印书馆，1999，292页。

[4]夏佩尔，《理由与求知》，褚平、周文彰译，上海译文出版社，2001，154页。②同上书，33页，362页及以下。

[5]温伯格认为空间膨胀这个说法是误导的，见S.温伯格，《终极理论之梦》，李泳译，湖南科学技术出版社，2003，29页注1。

[6]夏佩尔，《理由与求知》，褚平、周文彰译，上海译文出版社，2001，144页。

[7]我在《语言哲学》（北京大学出版社，2003）一书中对普特南的一种理论提出了简要的批评，见该书346-347页。

[8]细胞、原子、加速度这类语词，在汉语里差不多就是科学术语，英文所用的cell、atom、acceleration等则原是日常用语。我在《从移植词看当代中国哲学》一文中（载于《同济大学学报·社会科学版》，2005年第四期）对这类现象做了讨论。这里讨论日常语汇向科学术语的转变，当然主要着眼于西语词汇。

[9]Erwin Schrödinger，Mind and Matter，Cambridge University Press，1959，101页.

[10]见下面“数学取向”一节。

[11]伊萨克·牛顿，《自然哲学之数学原理/宇宙体系》，王克迪译，武汉出版社，1992，2页、13—14页。

[12]机器是一个巨大的例外，需要另做专门讨论。

[13]从aitia这个词来看，原因就来自责任者。

[14]柯瓦雷，《牛顿研究》，张卜天译，北京大学出版社，2003，5页。(www.xing528.com)

[15]这里只涉及牛顿所谓的“外力”，见定义4，伊萨克·牛顿，《自然哲学之数学原理/宇宙体系》，王克迪译，武汉出版社，1992，2页。

[16]科恩，《科学中的革命》，鲁旭东、赵培杰，宋振山译，商务印书馆，1999，202页。

[17]普特南，Mathematics，Matter and Method，Cambridge University Press，1979，225—226页。

[18]伊恩·斯图尔特，《混沌之数学》，潘涛译，上海远东出版社，1995，6页。

[19]万有引力并不是牛顿本人提出来的，是牛顿将它作为一个现代物理理论的基石。

[20]据卡约里考察，牛顿本人也并不持有超距作用观点，他因缺乏证据且先这么假定，而当时一般人也的确是这样理解的。见伊萨克·牛顿，《自然哲学之数学原理/宇宙体系》，王克迪译，武汉出版社，1992，卡约里的附注9，642页。引力的超距作用当然和交感不同，它不夹杂感、感觉、感性。在引力关系中没有感应、应和，引力所取是单向由因致果的模式，只不过它放弃了必须接触才能致动的常识观念。人们因此说万有引力是一种神秘的力。与此对照，感应却不是一种神秘的力。我们现在已不大容易理解当时的人怎么会认为万有引力是一种神秘的力，因为引力是普遍可测量的，而我们今天已习惯于这样的想法：只要可测量就不神秘。与之对照，我们反过来把感应视作神秘之事。

[21]转引自罗宾·科林伍德，《自然的观念》，吴国盛、柯映红译，华夏出版社，1999，160页。

[22]P.R.费曼，《费曼讲物理入门》，秦克诚译，湖南科学技术出版社，2004，112—113页。

[23]Brian Greene，The Elegant Universe，Vintage Books，2003，87—88页。

[24]同上书，87页。

[25]海森堡，《物理学和哲学》，范岱年译，商务印书馆，1981，134页。

[26]Brian Greene，The Elegant Universe，Vintage Books，2003，87页。

[27]柯瓦雷，《牛顿研究》，张卜天译，商务印书馆，2016，83页。

[28]E.A.伯特，《近代物理科学的形而上学基础》，徐向东译，北京大学出版社，2003，70页。

[29]迪昂，《物理学理论的目的和结构》，李醒民译，华夏出版社，1999，71页。

[30]柯瓦雷，《牛顿研究》，张卜天译，商务印书馆，2016，55页。

[31]迪昂，《物理学理论的目的和结构》，李醒民译，华夏出版社，1999，22页。

[32]M.克莱因，《西方文化中的数学》，张祖贵译，复旦大学出版社，2004，186页。

[33]P.R.费曼，《费曼讲物理入门》，秦克诚译，湖南科学技术出版社，2004，2页。

[34]亚里士多德在《论天》里也曾把所有运动分成直线和圆周及两者的混合（268b20-21），不过，亚里士多德的这种提法是定性的，不是定量的。

[35]参见戈革，《史情室文帚》，中国工人出版社，1999，41页。

[36]伊萨克·牛顿，《自然哲学之数学原理/宇宙体系》，王克迪译，武汉出版社，1992，6页。

[37]同上书，171页。

[38]同上书，171页。

[39]罗杰·牛顿，《何为科学真理》，上海科技教育出版社，2001，73页。

[40]Brian Greene，The Elegant Universe，Vintage Books，2003，173页。