线性代数：源于直角坐标系研究，

线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一个例子。

现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为 n的向量空间叫做 n维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。尽管许多人不容易想象 n维空间中的向量，这样的向量（即 n元组）用来表示数据非常有效。由于作为 n元组，向量是 n个元素的 “有序 ”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。比如，在经济学中可以使用 8维向量来表示 8个国家的国民生产总值（ GNP）。当所有国家的顺序排定之后，比如 (中国 ,美国 ,英国 ,法国 ,德国 ,西班牙 ,印度 ,澳大利亚 )，可以使用向量 (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8)显示这些国家某一年各自的 GNP。这里，每个国家的 GNP都在各自的位置上。

作为证明定理而使用的纯抽象概念，向量空间（线性空间）属于抽象代数的一部分，而且已经非常好地融入了这个领域。一些显著的例子有：不可逆线性映射或矩阵的群，向量空间的线性映射的环。线性代数也在数学分析中扮演重要角色，特别在向量分析中描述高阶导数，研究张量积和可交换映射等领域。

向量空间是在域上定义的，比如实数域或复数域。线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间），保持向量空间上加法和标量乘法的一致性。所有这种变换组成的集合本身也是一个向量空间。如果一个线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为一个数表，称为矩阵。对矩阵性质和矩阵算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被认为是线性代数的一部分。(www.xing528.com)

我们可以简单地说数学中的线性问题—— -那些表现出线性的问题——是最容易被解决的。比如微分学研究很多函数线性近似的问题。在实践中与非线性问题的差异是很重要的。

线性代数方法是指使用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它、解决它（必要时可使用矩阵运算）的方法。这是数学与工程学中最主要的应用之一。