带余除法的性质和应用

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拓展目标

1.提升两种数学素养：推理能力，模型思想。

2.学习两类思维方法：文字变算式转化法，列方程解题法。

3.掌握三项基本技能：理解“商”就是“倍数”，把余数问题转化为和倍问题；能总结推导并运用带余除法性质；能用分解质因数法求除数。

4.体验一种数学情感：迁移所学知识解决新问题的成就感。

活动1　文字变算式

有两个自然数相除，商是29，余数是3，已知被除数、除数、商与余数之和为2015，则被除数是_________。

文字变算式法

解答　解法一：2015-29-3=1983

除数是（1983-3）÷（29+1）=1980÷30=66

被除数是66×29+3=1917

和倍问题解题

解法二：设除数为x，则被除数为（29x+3）。

根据题意列方程：

29x+3=2015-29-3-x

29x+x=1983-3

30x=1980

x=66

列方程解题

被除数是66×29+3=1917。

方法点睛

如果整数a除以整数b（b≠0），商是q，余数是r，表示为

a÷b=q……r

b×q=a-r

（1）当r=0时，我们称a可以被b整除；

（2）当r≠0时，我们称a不可以被b整除。

带余除法算式

活动2　转化和倍

两数相除，商11余1，如果被除数、除数都扩大到原来的3倍，则被除数、除数、商和余数之和等于6605。求原来的被除数和除数。

分析　被除数和除数都扩大3倍，商不变，但余数扩大3倍，现在的余数=1×3=3。扩大后的被除数和除数之和一定是3的倍数。

转化成和倍问题

解答　（6605-11-1×3）÷3=2197

原除数为（2197-1）÷（11+1）=183

原被除数为183×11+1=2014

答：原来的被除数和除数分别是2014，183。

方法点睛

带余除法性质

活动3　去余猜数(www.xing528.com)

一个两位数除349，得到的余数是34。求这个两位数。

解答　349-34=315

315=3×3×5×7

315的两位数因数有3×5=15，3×7=21，5×7=35，3×3×5=45，3×3×7=63，

其中15，21小于余数34，不合题意，舍去。

答：这个两位数可能是35，45或63。

分解质因数

列举法　列举315的两位数因数。

排除法　余数要小于除数。

活动4　同余个数

在1～2014这2014个自然数中，被3或5除都余2的数有_________个。

分析　先不考虑余数，算好个数，再推出加2后会有多少个数。

在1～2014中能被3或5整除的数加2即是符合条件的数，但能被3和5同时整除的数重复计数了，所以要减去。

被3除时，第671个数的余数为2，应是2015，不在1～2014中，所以比671个少1个。

解答　2014÷3=671（个）……1（个）

671-1=670（个）

2014÷5=402（个）……4（个）

2014÷（3×5）=134（个）……4（个）

670+402-134=938（个）

带余除法歌

带余除法变算式，余数要比除数小；

被除与除同扩缩，商不变来余数变；

商是隐藏的倍数，转成和倍差倍题；

分解因数去推理，同余个数巧容斥。

思维小训练

1.被除数、除数、商与余数之和是1293，已知除数是17，余数是8，求被除数。

2.两数相除，商23余11，如果被除数、除数都扩大到原来的3倍，则被除数、除数、商和余数之和等于1169。求原来的被除数和除数。

3.一个三位数，要使它除以23时得到的余数最大，则这个三位数的最小值是多少？

4.一个两位数除231，得到的余数是11。这样的两位数有哪些？

5.一个数除以6余4，除以7余5，求满足条件的最小数。

6.2156÷a=b……11，a，b均为自然数，a共有多少种取值？

7.在大于2015的自然数中，被59除后，商和余数相等的数共有多少个？

8.在1～1000这1000个自然数中，被5或7除都余3的数共有多少个？

思维小达人

从1开始写自然数，连续写到2008时停止，得到一个多位数：123456789101112…20072008。请说明：这个多位数除以3，得到的余数是几？为什么？