奇偶进阶-乘法原理分析

扫一扫
获取活动1视频讲解

拓展目标

1.提升两种数学素养：数感，模型思想。

2.学习两类思维方法：假设法，转化法。

3.掌握三项基本技能：能根据运算性质判断得数的奇偶性，学会“求差”转化“求和”判断得数的奇偶性，会综合运用乘法原理、周期原理解决奇偶问题。

4.体验一种数学情感：掌握规律化难为易的愉悦感。

活动1　求差转求和

把自然数列1，2，…，1024中的任意两数组成一组，把每组中的两数相减求差，再把所得的差两个一组再次求差，这样一直做下去，最后得到的一个数是奇数还是偶数？

方法点睛

因为整数a与b求和与求差，有如下四种不同情况：

（1）a（奇数）+b（奇数）=偶数；a（奇数）-b（奇数）=偶数；

（2）a（偶数）+b（偶数）=偶数；a（偶数）-b（偶数）=偶数；

（3）a（奇数）+b（偶数）=奇数；a（奇数）-b（偶数）=奇数；

（4）a（偶数）+b（奇数）=奇数；a（偶数）-b（奇数）=奇数。

可以发现：两数相减与两数相加有相同的奇偶性！

所以，可以把判断求差的奇偶性转化为判断求和的奇偶性。

解答　总和=1+2+3+4+…+1023+1024

=（1024+1）×1024÷2

=1025×512

答：最后得到的一个数一定是偶数。

高斯求和法

奇偶推理法　奇数×偶数=偶数

活动2　巧猜盒中珠

一个盒子里有黑、白珠子各50颗，每次从中取出2颗珠子，若同色，则另放1颗黑色的珠子回去；若不同色，则放1颗白色的珠子回去。那么最后剩下的1颗是________色珠子。

解答　因为黑、白珠子各有50颗，是偶数，而取出的2颗珠子有同色与不同色两种情况：

（1）如果同色（两黑或两白）时，另放1颗黑色的珠子回去，此时白色珠子个数的奇偶性没有发生改变，仍为偶数。

（2）如果不同色（一黑一白）时，白色珠子又放回去了，白色珠子个数的奇偶性也没有改变，仍为偶数。

综上所述，所剩的白色珠子只可能是偶数。

而最后剩下1颗，是奇数，所以只可能是黑色珠子。

奇偶推理法

活动3　偶数同色球

现有足够多的红、黄、蓝、黑四种颜色的玻璃球，最少要放到多少个袋子中（每个袋子中都有四种颜色的玻璃球），才能保证得到这样的两个袋子：把这两个袋子里的球合并后这四种颜色玻璃球的个数都是偶数？

乘法原理

分析　第1步：计算四种颜色的球按奇偶数搭配的不同情况。每一种玻璃球都有两种选择，即奇数个或偶数个。四色搭配共2×2×2×2=16（种）。(www.xing528.com)

第2步：16种情况相当于16个抽屉，用最不利原则推出，再加一个袋子，即16+1=17（个）袋子中必有两个袋子中每种颜色的球的奇偶性完全相同。奇偶性相同的两数相加，和一定是偶数。

奇偶运算性质　奇数+奇数=偶数

偶数+偶数=偶数

解答　2×2×2×2=16（种）

16+1=17（个）

答：最少放到17个袋子中。

活动4　果农回小屋

图14-1

图14-2

染色标记　如图14-2所示，可以先将代表果树的○用蓝白相间的方法染色，即蓝（白）点一定与白（蓝）点相邻。此时小屋也就相当于是蓝点。因此，图中共有13个蓝点和12个白点。

周期原理　果农从小屋（蓝点）出发，只能蓝白相间地走，即白、蓝、白、蓝……走到第24个点肯定是蓝点，但蓝点与蓝点（小屋）是不相邻的，故不能直接回到小木屋。

解答　答：不能做到。

奇偶进阶歌

奇偶运算有规律，两奇两偶和为偶，

两数和差同奇偶，求差可转去求和，

相间染色来研究，蓝白对等可能成。

思维小训练

1.把2014任意分成15个自然数的和，则这15个自然数的乘积一定是__________（选填“奇数”或“偶数”）。说说你的理由。

2.房间里有5盏灯，全部关着。每次拉2盏灯的开关，这样做若干次后，有没有可能使5盏灯全部是亮的？为什么？

3.贝贝有一本共116张纸的记事本，她依次将每一张纸的正反两面编上页码，即页码为1～232。如果从这本记事本中撕下23张纸，将它们的正反面页码相加之和___________（选填“可能”或“不可能”）等于2014。说说你的理由。

4.一个盒子里有黑、白珠子各101颗，如果每次从中取出2颗珠子，若同色，则另放1颗黑色的珠子回去；若不同色，则放1颗白色的珠子回去。那么最后剩下的1颗珠子是__________色。

5.五（3）班有36个学生，他们的座位排成6排，每排6张桌子，老师每个月都要将座位调换一次，使得每个同学都与其相邻（前、后、左、右）的某一个同学交换座位。这样交换座位能做到吗？说说你的理由。

6.图14-3是由40个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成20个相同的长方形？说说你的理由。

图14-3

7.能否将1～25这25个自然数分成若干组，使得每一组中最大的数都等于组内其余各数的和？说说你的理由。8.一次数学考试共有20道题，规定答对1道题得2分，答错1道题倒扣1分，未答的题不计分。考试结束后，小明共得23分。他想知道自己做错了几道题，但只记得未答的题的数目是个偶数。请你帮小明算一下，他答错了几道题？有几道题未答？

思维小达人

图14-4（1）中有5块由4个1×1的小正方格组成的不同形状的硬纸板。用这5个硬纸板能拼成图14-4（2）中4×5的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由。

图14-4