小学数学思维拓展：等积变形，三角形面积利用平行线性质

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拓展目标

1.提升三种数学素养：几何直观，推理能力，模型思想。

2.学习三类思维方法：剔除法，割补法，转化法。

3.掌握三项基本技能：认识简单的“等积变形”几何原理，学会一题多解，学会从问题入手倒推分析。

4.体验一种数学情感：几何证明中逻辑推理的严密性。

活动1　割补与变形

如图12-1所示，已知大正方形ABCD的边长为7 cm，小正方形CEFG的边长为4 cm，求图中三角形BDF的面积。

解答　解法一：三角形BDF的面积等于正方形ABCD与梯形DCGF的总面积再减去空白部分①②两个三角形的面积，如图12-2所示。

剔除法

S总=7×7+（7+4）×4÷2=71（cm2）

S①=7×7÷2=24.5（cm2）

S②=（7+4）×4÷2=22（cm2）

S△BDF=71-24.5-22=24.5（cm2）

图12-1

图12-2

解法二：直接求三角形BDF的面积较困难，如图12-3所示，作一条辅助线，连接BE，利用分割法把三角形分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ这三个小三角形，分别求出各部分的面积，然后相加。

分割法

图12-3

SⅠ=（7-4）×7÷2=10.5（cm2）

SⅡ=4×4÷2=8（cm2）

SⅢ=4×（7-4）÷2=6（cm2）

S△BDF=10.5+8+6=24.5（cm2）

解法三：如图12-4所示，连接CF，则CF∥BD。三角形BDF与三角形BCD 有一条公共的底边BD，它们的高正好是这两条平行线之间的距离，而平行线之间距离处处相等，则两个三角形的高相等，所以面积相等。

S△BDF=S△BDC=7×7÷2=24.5（cm2）

答：三角形BDF的面积为24.5 cm2。

图12-4

等积变形法

方法点睛

同底等高（等底同高）的三角形，形状不同但面积相等。

活动2　变形与极限

如图12-5所示，有三个正方形并排放在一起，顶点E，F，K恰好在同一条直线上，其中ECGF的边长为13 cm，连接AE，EJ，AG，GJ，求阴影部分的面积。

图12-5

分析　如图12-5所示，三个正方形对应的对角线互相平行。利用两条平行线之间的距离相等这一性质，找到与阴影部分面积对应相等的三角形。

等积变形法

底不动顶点平移。

解答　连接正方形的三条对角线AC，EG，FJ，

因为AC∥EG∥FJ，

所以S△AGE=S△CGE（底GE不动，A点平移到C点），

S△EGJ=S△FEG（底GE不动，J点平移到F点），

所以S阴影=S△AGE+S△EGJ=S△CGE+S△FEG=S正方形GFEC

=13×13=169（cm2）。

答：阴影部分的面积为169 cm2。

图12-6

活动3　倒推与变形

如图12-6所示，直角梯形ABCD中，AB为9 cm，AD为8 cm，DE垂直于BC，三角形FCD的面积为12 cm2。梯形ABCD的面积是________cm2。

分析　要求梯形ABCD的面积，还须求出下底的长，已知BE=AD，求出EC的长即可。EC正好是三角形FCD的高，那么只要求出DF的长。又因为DF是三角形ADF的高，所以只要求出三角形ADF的面积即可。

解答　S△ADF=S△ADC-S△FCD=9×8÷2-12=24（cm2）

DF=24×2÷8=6（cm）

EC=12×2÷6=4（cm）

BC=8+4=12（cm）

S梯形ABCD=（12+8）×9÷2=90（cm2）

倒推分析法

活动4　转化与变形

如图12-7所示，一个边长为10 cm的正方形ABCD与一个直角梯形AGFE叠在一起，其中AE=EF。连接DF，BD，连接BF交AG于点H，求三角形BDF的面积。

图12-7(www.xing528.com)

证明与转化法　把求三角形BDF的面积转化成求三角形ABD的面积。

解答　S△BEF=EF×（AE+AB）÷2

S梯形ADFE=（EF+AD）×AE÷2

因为AB=AD=10 cm，AE=EF，

所以S△BEF=S梯形ADFE。

因为梯形AHFE是三角形BEF和梯形ADFE的公共部分，

所以S△HDF=S△ABH。

S△BDF=S△BDH+S△HDF

=S△BDH+S△ABH

=S△ABD

=10×10÷2

=50（cm2）

答：三角形BDF的面积为50 cm2。

等积变形歌

组合图形求面积，常用割补与剔除；

等积变形是新招，底边不动顶点移；

找同底来找等高，形状不同面积同。

思维小训练

1.如图12-8所示，面积为36 cm2的长方形是由三个相同的小正方形拼成的，阴影部分三角形的面积为多少平方厘米？

图12-8

2.图12-9是由一个长方形ABDC和一个正方形DEFG拼合而成的图形，请根据图中标出的线段长度，求出阴影部分BCGF的面积。

图12-9

3.如图12-10所示，长方形ABCD的长和宽分别是15 dm，12 dm，E是BC延长线上的一点，AE交DC于点F，三角形ADF的面积比三角形CEF的面积大30 dm2，CE的长是多少分米？

图12-10

4.如图12-11所示，正方形ABCD的边长为12 cm，E是BC延长线上的一点，AE交DC于点F，三角形DEF的面积为18 cm2。求梯形ABED的面积。

图12-11

5.如图12-12所示，四边形ABCD中，AE垂直BC于点E，DF垂直BC于点F，CE=18 cm，DF=8 cm，AE=5 cm，BF=16 cm。求四边形ABCD的面积。

图12-12

6.三角形ABC与三角形DEF是两个完全相同的直角三角形，它们如图12-13所示地叠在一起，已知AB=12 cm，BE=4 cm，DG=3 cm， 求阴影部分梯形DGCF的面积。

图12-13

7.图12-14是由直角三角形ABC与平行四边形BCDE拼成的图形，直角三角形ABC的直角边AC长14 cm，BC长12 cm，已知阴影部分的面积之和比三角形AFG的面积大12 cm2，求CG的长。

图12-14

8.如图12-15所示，阴影部分正方形的面积是多少平方厘米？

图12-15

思维小达人

如图12-16所示，梯形ABCD与正方形DEFC拼在一起，AF与DE交于点G。已知BC=CD=4，三角形ADG的面积是三角形DGF的面积的2倍。

（1）求梯形ABCD的面积；

（2）比较三角形ADG和三角形GEF的面积大小。

图12-16