直线图形解析及计算技巧，等腰直角三角形面积计算

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拓展目标

1.提升两种数学素养：几何直观，推理能力。

2.学习两类思维方法：割补拼转化法，找对应代换法。

3.掌握三项基本技能：能根据等腰直角三角形的斜边求面　积，会正确添加辅助线解题，能利用间接的方法巧求面积。

4.体验一种数学情感：转化成功化难为易的成就感。

活动1　添补变形

如图11-1所示，等腰直角三角形的斜边长为18 cm，这个三角形的面积是________cm2。

图11-1

图11-2

解答　18×18÷4=81（cm2）

公式　等腰直角三角形的面积=斜边长的平方÷ 4

活动2　寻找对应

图11-3是由两个边长分别为9 cm和6 cm的正方形拼成的图形，阴影部分为一个平行四边形，那么这个平行四边形的面积是________cm2。

图11-3

看图找对应　阴影部分是一个平行四边形，它的底正好等于小正方形的边长，高正好是大正方形的边长。

解答　S平行四边形=9×6=54（cm2）

活动3　巧找等高

图11-4

如图11-4所示，梯形ABCD上底AD长8 cm，下底BC长18 cm，腰CD长12 cm，过点B向CD作垂线BE交CD于点E，BE长15 cm。梯形ABCD的面积是________cm2。

解答　连接BD。

S△BDC=12×15÷2=90（cm2）

h=90×2÷18=10（cm）

S梯形ABCD

=（a+b）×h÷2

=（8+18）×10÷2

=130（cm2）

巧找“等高”　求梯形ABCD的面积前必须先求出梯形的高。添一条辅助线，即连接BD，利用DC和它对应的高BE求出三角形BDC的面积，再根据所求面积求出BC边对应的高，即为梯形的高。

活动4　间接求法

如图11-5所示，长方形的长为12、宽为9，直角三角形ADE、直角三角形DFC和四边形DEBF的面积相等，求三角形DEF的面积。

图11-5

分析　第1步：先算四边形DEBF的面积。

S四边形DEBF=S△ADE=S△DFC=长方形面积÷3。

第2步：再算直角三角形BEF的面积。直角三角形BEF的两条直角边等于长方形的长和宽分别减去FC和AE。分别求出FC和AE的长。

第3步：再算三角形DEF的面积。

S△DEF=S四边形DEBF-S△BEF

解答　S四边形DEBF=12×9÷3=36

AE=36×2÷12=6

BE=9-6=3

FC=36×2÷9=8

BF=12-8=4(https://www.xing528.com)

S△BEF=4×3÷2=6

S△DEF=36-6=30

答：三角形DEF的面积为30。

直线图形歌

等腰直角三角形，斜边平方除以四；

平行四边与梯形，等底等高找对应，

直接难求用间接，添线辅助是一招。

思维小训练

1.如图11-6所示，长方形ABCD的长是11 cm，宽是7 cm，DE是3 cm， CF是4 cm，求三角形AEF的面积。

图11-6

2.一个平行四边形和一个梯形的高相等，梯形的上底是12，下底是16，要使平行四边形与这个梯形的面积相等，那么平行四边形与这条高对应的底是多少？

3.如图11-7所示，梯形中阴影部分三角形的面积是48 cm2，梯形的上底是8 cm，下底是12 cm，求梯形的面积。

图11-7

4.如图11-8所示，等腰直角三角形最长的边长为24 cm，这个三角形的面积是多少平方厘米？

图11-8

5.两个等腰直角三角形如图11-9所示摆放，恰好拼成一个直角梯形，已知较小的等腰直角三角形的斜边长为8 dm，那么这个直角梯形的面积是多少平方分米？

图11-9

6.图11-10是由一个长方形和一个正方形拼成的图形，请根据图中标出的线段长度求出阴影平行四边形的面积。

图11-10

7.如图11-11所示，从梯形ABCD中分出两个平行四边形，其中平行四边形ABEF的面积为63 dm2，且AF的长度为7 dm，FD的长度为3 dm，那么平行四边形DCGF的面积是多少平方分米？

图11-11

8.如图11-12所示，相同的两个直角三角形拼在一起，请根据图中标出的线段长度求出重叠部分三角形的面积。

图11-12

思维小达人

如图11-13所示，有两条线段BG和EF，把一个边长为15 dm的正方形ABCD分成两个高相等（AF=FD）的直角梯形和一个直角三角形。已知两个梯形的面积的差是18 dm2，线段CG的长是________dm。

图11-13