数学高考培优指南：离散型随机变量概率分布列性质

Ⅰ.随机事件的概率

【知识梳理】

（1）事件的分类：①必然事件：在条件S下 必然要发生的事件；②不可能事件：在条件S下一定不会发生的事件；③随机事件：在条件S下可能发生，也可能不会发生的事件.

②概率：对给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的 频率稳定在某个 常数上，我们把这个常数记作P（A），P（A）就称为事件A的概率.概率P（A）的取值范围为 ［0，1］.

（3）事件的关系与运算

①包含关系：A⊆B，表示事件A发生，则事件B 必定发生.

②并事件（和事件）：A∪B（A+B），表示事件A，B 至少有一个发生.

③交事件（积事件）：A∩B（AB），表示事件A，B 同时发生.

④互斥事件：A，B互斥，表示事件A，B 不可能同时发生，且P（A∪B）= P（A）+P（B）.

⑤对立事件：A，B对立，表示事件A，B 有且仅有一个发生，且P（A）=1-P（B）.

（4）频率与概率的区别和联系：①区别：频率是随机的，在试验之前不能确定；概率是一个确定的数，与每次试验无关.②联系：随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率；频率是概率的近似值.

【巩固训练】

1.已知非空集合A是B的真子集，任取x∈B，则x∈A是（　）

A.必然事件　B.不可能事件

C.随机事件　D.确定事件

2.从装有若干个红球和黄球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（　）

A.至少有一个红球，至少有一个黄球　B.恰有一个红球，恰有两个黄球

C.至少有一个红球，都是红球　D.至少有一个红球，都是黄球

3.有三个兴趣小组，甲、乙两位同学各参加其中的一个小组，且他们参加各个兴趣小组是等可能的，则甲、乙两位同学不参加同一个兴趣小组的概率为________.

Ⅱ.古典概型

【知识梳理】

（1）基本事件的特点：①任何两个基本事件是 互斥的；②任何事件（不可能事件除外）都可以表示成基本事件的和.

（2）古典概型：我们将具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.

①试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个；每个基本事件出现的 可能性都相等.

【巩固训练】

1.下列是古典概型的是（　）

A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件

B.为求任取一个正整数，该正整数平方值的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件

C.盒子里放有编号1至10的十个相同小球，任意取出一个球，将取出球的编号作为基本事件

D.抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止

2.从标有1，2，3，4，…，10的10张卡片中任取2张，“这两张卡片上的数字之和为9”的概率为 （　）

3.一个袋子中装有2个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率是 （　）

4.若有2位老师，3位学生站成一排合影，则每位老师都不站在两端的概率是 （　）

5.一个盒子内部有如图3-1所示的6个小格子，现有橘子、苹果、香蕉各2个，将这6个水果随机地放入6个格子里，每个格子放1个，每行、每列的水果种类各不相同的概率是 （　）

（图3-1）

6.将一个各个面上均涂有颜色的正方体分割成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取1个，恰有两个面涂有颜色的概率是_______.

7.如图3-2是处于断开状态的5个开关，任意闭合两个，则电路被接通的概率为_______.

8.学校艺术节原定的8个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，将这2个节目随机排入原定的节目单中，则这2个节目恰好排在一起的概率是_______.

（图3-2）

9.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各参加其中一个小组，且他们参加各个兴趣小组的可能性一样，则甲、乙两位同学不参加同一个兴趣小组的概率为_______.

10.四张编号分别为1，2，3，4的卡片，每次从中取一张，记下编号后放回，这样取了3次，则这3次取的卡片上编号之和为6的概率为_______.

11.甲、乙两人玩数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈｛1，2，3｝，若｜a-b｜≤1，则甲、乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为_______.

12.在集合｛1，2，3，4，5｝中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量α→=（a，b），从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，则面积不超过4的平行四边形的概率是______.

14.从方程x+y+z=5的所有非负整数解中随机取出一组解，则取出的该组解是正整数解的概率是_______.

15.一个袋子中有大小相同的3个红球和4个黑球，每次从中取出1个球，直到所有红球被取出为止，则红球在第5次被全部取出的概率是______.

Ⅲ.离散型随机变量及其分布列

【知识梳理】

（1）离散型随机变量：随着试验结果的变化而变化的变量称为 随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示，所有取值可以 一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.

（2）离散型随机变量的分布列及性质

定义：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi（i=1，2，…，n）的概率为P（X=xi）=pi，则右表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称X的分布列，有时为了表达简单，也可用等式P（X=xi）=pi表示.

【巩固训练】

1.若随机变量ξ表示抛掷两枚质地均匀的硬币时正面向上的硬币数，则ξ的可能取值为（　）

A.0，1　B.0，1，2　C.1，2　D.0，2

2.袋中有大小相同的五只钢球，分别标有数字1，2，3，4，5.有放回地依次取出两个球，设两个球上的数字之和为随机变量ξ，则ξ所有可能值的个数为（　）

A.25　B.10　C.9　D.5

3.如果ξ是一个随机变量，那么下列命题中，假命题是（　）

A.ξ取每个可能值的概率是非负实数

B.ξ取所有可能值的概率之和为1

C.ξ取某两个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和

D.ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和

4.设某项试验成功率是失败率的2倍，随机变量ξ为1次试验的成功次数，则失败率p为（　）

5.从装有3张红色卡片和2张黄色卡片的信封中随机抽取一张卡片，用X表示“抽到的红色卡片张数”，则P（X=1）等于（　）

9.如下表，随机变量ξ的分布列如下，则常数a=________，P（1＜ξ＜4）=_________.

10.如下表，已知随机变量ξ的分布列如下，试求出η=ξ2的分布列.

11.袋中有7个球，其中3个黑球，4个红球，从袋中任取3个球，求取出的红球数X的分布列.

12.一个口袋里有5个球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3个球，以X表示取出的3个球中的最大号码，试写出X的分布列.

13.将一枚骰子掷2次，求下列随机变量的概率分布.

（1）两次掷出的最大点数ξ；

（2）第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差η.

14.从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽到的可能性相同，在下列两种情况下，分别求出取到合格品为止时所需抽取次数X的分布列.

（1）不放回地取；

（2）有放回地取.(www.xing528.com)

Ⅳ.二项分布及其运用

【知识梳理】

（1）相互独立事件：设A，B为两个事件，如果事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件.若事件A与事件B相互独立，则P（A·B）= P（A）·P（B）.

（图3-3）

【巩固训练】

1.抛掷一枚图钉，若钉尖向上的概率为0.9，则连续抛掷5次，出现3次钉尖向上的概率为（　）

3.加工某产品须经两道工序，这两道工序的次品率分别为a，b，且这两道工序相互独立，那么该产品合格的概率是________.

4.如图3-3，某系统由A，B，C三个元件组成，每个元件正常工作概率为P，则系统正常工作的概率为________.

5.某气象站天气预报的准确率为80%，则________：

（1）5次预报中恰有2次准确的概率为________；

（2）5次预报中至少有2次准确的概率为________；

（3）5次预报中恰有2次准确且第3次预报准确的概率为________.

（1）求甲获胜的概率；

（2）求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列.

7.实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制.求：

（1）甲打完5局获胜的概率；

（2）甲以3∶1的比分获胜的概率；

（3）按比赛规则甲获胜的概率.

Ⅴ.离散型随机变量的期望与方差

【知识梳理】

（1）离散型随机变量的期望与方差：若离散型随机变量X的分布列为P（X=xi）=pi（i=1，2，…，n）.（如右表）

（2）期望与方差的性质

①E（aξ+b）=a·E（ξ）+b，D（aξ+b）=a2·D（ξ）；

②若X～B（n，p），则E（X）=np，D（X）=np（1-p）.

【巩固训练】

1.随机抛掷一枚质地均匀的骰子，设向上一面的点数为X，则（　）

2.若X是离散型随机变量，则E（X-E（X））的值是（　）

A.E（X）　B.2E（X）　C.0　D.（E（X））2

4.如果一个口袋中有10个大小相同的6个红球和4个白球，从中任取1球，记下颜色后放回，连续摸取4次，设X为取得红球的次数，则E（X）为________.

5.随机变量X～B（100，0.2），那么D（4X+3）=________.

6.正四面体的四个面上分别写有数字1，2，3，4，将三个这样大小相同、质地均匀的四面体同时投掷于桌面上，记X为与桌面接触的三个面上的三个数字中最大值与最小值之差的绝对值，则E（X）=________.

7.在1，2，3，4，5这五个数字的所有排列a1，a2，a3，a4，a5中，记X为某一排列中满足条件ai=i（i=1，2，3，4，5）的个数（如排列1，5，3，2，4，则X=2），则E（X）=________.

8.甲箱中放有x个红球和y个白球（x，y≥0，x+y=6），乙箱中放有2个红球、1个白球、1个黑球.现从甲箱中任取2个球，从乙箱中任取1个球.

（1）记取出的3个球颜色全不相同的概率为P，求P取得最大值时的x，y的值；

（2）当x=2时，求取出的3个球中红球个数ξ的数学期望.

（1）获赔的概率；

（2）获赔金额X的分布列与期望.

10.如图3-4，一个小球从M处投入，通过管道自上而下滑落，最后从A或B或C滑出，已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性相等.某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为一、二、三等奖.

（1）已知获得一、二、三等奖的折扣率分别为50%，70%，90%，记随机变量ξ为获得k（k=1，2，3）等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及均值E（ξ）.

（2）若有3人次（投入1球为1人次）参加促销活动，记随机变量η为获得一等奖或二等奖的人次，求P（η=2）.

（图3-4）