立体几何动态问题解析

【思想方法概述】

立体几何中的动态问题，主要有五种类型：动点问题、翻折问题、旋转问题、投影问题以及轨迹问题.解题方法主要有两种：一是回归定义、定理或现有结论中；二是借助空间直角坐标系运用解析几何思想方法求解.思考方向：一是平面化，即设法放入同一平面内思考；二是思考平行、垂直、中点、端点等特殊位置或极端位置的几何图形；三是借助长方体、正方体等辅助思考.

1.线面角的最小性与二面角的最大性

斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内过斜足的直线所成一切角中的最小角；将一个平面折成二面角，原平面上所有直线折后所成的角中二面角的平面角最小；二面角的平面角是一个半平面内的任意一条直线与另一个半平面所成的线面角中的最大角.

2.求空间轨迹的长度和面积

等价于求它在某个平面上的正投影的长度和面积.

3.平面上常见的动点轨迹

（1）平面上到一个定点的距离与到一条定直线（定点不在定直线上）的距离之比等于常数e的动点轨迹：

①若e＞1，则轨迹是双曲线；②若e=1，则轨迹是抛物线；③若0＜e＜1，则轨迹是椭圆.

（2）平面上到两个定点的距离之比等于常数λ的动点轨迹：①若λ＞0且λ≠1，则轨迹是圆；②若λ=1，则轨迹是直线（即这两个定点的中垂线）.

（3）平面上到两条定直线的距离之比等于常数的动点轨迹是直线.

（4）平面上到两条定直线的距离之积等于不为0的常数的动点轨迹是双曲线.

（图4-1）

4.圆锥曲线定义

用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线.它包括椭圆、双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形.具体如下：

（1）当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，得到的交线为 抛物线；

（2）当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，得到的交线退化为 一条直线；

（3）当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，得到的交线为 椭圆；

（4）当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，得到的交线为 圆；

（5）当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，得到的交线为 一点；

（6）当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，得到的交线为 双曲线；

（7）当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，得到的交线退化为 两条相交直线.

（图4-2）

5.圆锥截线

设圆锥的轴与母线的夹角为α，与截面的夹角为β（截面不过圆锥顶点），如图4-2：

（1）若β=α，则截线为 抛物线；

（2）若β=90°，则截线为 圆；

（3）若α＜β＜90°，则截线为 椭圆；

（4）若0°≤β＜α，则截线为 双曲线.

6.四面体体积公式

（图4-3）

【典例导悟】

例1 如图4-3，已知三棱锥D-ABC，记二面角C-AB-D的平面角为θ，直线DA与平面ABC所成的角为θ1，直线DA与BC所成的角为θ2，则 （　）

A.θ≥θ1　B.θ≤θ1

C.θ≥θ2　D.θ≤θ2

【解析】由最小角定理，显然θ1≤θ2，θ1≤θ，但是θ2与θ无法比较大小（如果θ2是过棱AB上同一点M所成的线线角，则θ2≥θ），故选A.

例2 如图4-4，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成的二面角A′-CD-B的平面角为α，则 （　）

A.∠A′DB≤α　B.∠A′DB≥α

C.∠A′CB≤α　D.∠A′CB≥α

【解析】二面角的平面角是过棱上同一点的线线角中的最小角，故α≤∠A′DB，事实上，若AC=BC，则∠A′DB=α，∠A′CB＜α，故选B.

（图4-4）

例3 如图4-5，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为CC1的中点，P是空间一点，求满足下列条件的点P的轨迹：

（1）∠PD1M=60°，且P在平面ABCD内；

（2）∠PD1M=60°，且P在平面ABB1A1内；

（3）∠PD1M=60°，且P在平面A1B1C1D1内；

（4）P在平面ABCD内，∠D1PD=∠MPC；

（图4-5）

（5）P在平面ABCD内，点P到点D的距离等于点P到直线BC的距离.

（2）相当于α=60°，β=0°＜α，故为双曲线.

（3）相当于α=60°，β≈20°＜α，但过圆锥顶点，故退化为两条相交直线.

（5）抛物线.

（图4-6）

（图4-7）

评注：多动点距离求和问题中，若动点所在多边形（或旋转体表面图形）形状是不变的，那么此类问题都要设法通过图形变换使多动点转到同一平面处理.

A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直

B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直

C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

D.对任意位置，直线AC与BD，AB与CD，AD与BC均不垂直

（图4-8）

【解析】如图4-9，对于选项A，假设AC⊥BD，从而BD⊥平面AEC，∴BD⊥CE，即在原图4-8中E，F重合于一点，这是不可能的.

（图4-9）

【巩固训练】

1.如图4-10所示，点P，Q分别为正四面体A-BCD的棱AB，BC上的动点（不包括端点），则直线PQ与底面BCD所成线面角的正弦值的最大值为________.

2.如图4-11，AB是平面α外固定的斜线段，B是斜足，若点C在平面α内运动，且∠CAB等于直线AB与平面α所成的角，则动点C的轨迹为（　）

A.圆　B.椭圆　C.双曲线　D.抛物线

（图4-10）

（图4-11）

3.如图4-12，已知AB是平面α的一条斜线段，动点P在平面α内运动，若△ABP的面积为定值，则动点P在平面α内的轨迹是（　）

A.圆　B.椭圆

C.一条直线　D.两条平行线

（图4-12）

4.如图4-13，设m是平面α内的一条定直线，P是平面α外的一个定点，动直线n经过点P且与定直线m成30°角，则直线n与平面α的交点Q的轨迹是 （　）

A.圆　B.椭圆

C.双曲线　D.抛物线(www.xing528.com)

5.若正四面体S-ABC的面ABC内有一动点P到平面SAB，平面SBC，平面SCA的距离依次成等差数列，则点P的轨迹是 （　）

A.一条线段　B.一个点　C.一段圆弧　D.一段抛物线

（图4-13）

6.如图4-14，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1其及边界上运动，并总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是 （　）

A.线段B1C

B.线段BB1的中点与线段CC1的中点连成的线段

C.线段BC1

D.线段BC的中点与线段B1C1的中点连成的线段

7.P为四面体S-ABC侧面SBC内一点.

（图4-14）

（1）若动点P到底面ABC的距离与点P到点S的距离相等，则动点P的轨迹是__________.

（2）若动点P到底面ABC的距离与点P到直线SB的距离相等，则动点P的轨迹是__________.

8.已知直平行六面体ABCD-A1B1C1D1各棱长均为3，∠BAD=60°，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一端点N在底面ABCD上运动，则

（1）线段MN中点P的轨迹E与共顶点D的三个面所围成的几何体体积为________.

（2）线段MN的中点P在共顶点D的三个面上的轨迹总长度为__________.

A.部分圆　B.部分椭圆

C.部分抛物线　D.部分双曲线

（图4-15）

12.在60°的二面角α-l-β内任取一点A，在半平面α，β内分别取点B，C，若点A到棱l的距离为d，则△ABC周长的最小值为________.

13.如图4-16，正方形ABCD与ABEF构成一个60°的二面角，将△ACD绕AD旋转一周，则在旋转过程中，直线AC与平面ABEF所成角的取值范围为________.

（图4-16）

16.已知异面直线a，b所成的角为60°，直线AB与a，b均垂直，且垂足分别为A，B，若动点P∈a，Q∈b，且｜PA｜+｜QB｜=1，则线段PQ的中点M的轨迹围成的区域面积是________.

（图4-17）

18.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能焊接成一个三棱锥铁架，则a的取值范围为（　）

（图4-18）

19.若四面体ABCD三组对棱分别相等，即AB=CD，AC=BD，AD=BC，则下列说法正确的是______.

①四面体ABCD每组对棱互相垂直

②四面体ABCD每个面的面积相等

③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°

④连结四面体ABCD每组对棱中点的线段互相垂直平分⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可形成一个三角形

（图4-19）

20.如图4-19所示的正方体中，E，F分别为棱DD1，AB上的点，有下列判断：

①A1C⊥平面B1EF；②△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线；④平面B1EF与平面ABCD所成的锐二面角的大小与点E的位置有关，与点F的位置无关.其中判断正确的是________.

21.已知半径为2的球面上有A，B，C，D四点，若AB=CD=2，则此四面体体积的最大值为（　）

22（1）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），若满足｜PB｜+｜PD1｜=m的点P的个数为6，则m的取值范围为________.

（2）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），对于给定的正数m，若满足｜PB｜+｜PD1｜=m的点P的个数为n，则n的最大值为______.